眞趣盎然集

  Calculation of  the Time Constant in RC and RL Circuits 以下以 RC 與 RL 串聯電路為例，將分別以 SI ( International System of Units ) 國際單位以及其它單位導出 RC 與 RL 電路的時間常數單位： $RC$ 串聯電路的時間常數以 $SI$ 基本單位導出 如上圖所示的 $RC$ 串聯電路，設電容 $C$ 的電壓為 $v_C(t)$，且 $t = 0$ 時， $v_c(0) = 0$，則 $$v_c(t) = V_B(1-e^\frac{-t}{\tau})$$ 其中的 $\tau = RC$，稱為該電路的 時間常數 (Time Constant)。 接下來，我們將說明如何以 $SI$ 基本單位來導出此時間常數的單位。 因為能或功的表示式為 $$W=I^2Rt=FS\;cos\;\theta=maS\;cos\;\theta\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(\;\theta \;為力向量\; \vec F \;與位移向量\;\vec S \; 的夾角)$$        可知 $$R=\frac {maS\;cos\;\theta}{I^2t}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ 意即電阻 $R$ 的單位若以 $SI$ 基本單位表示，由式子 (1) 知可表示為 $kg\;m^2s^{-3}A^{-2}$。 而已知電容     $$C=\frac {Q}{V}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$ 意即電容 $C$ 的單位可由電量 $Q$ 與 電壓 $V$ 來決定。其中電量的部分，因為 $Q=It$，所以 $Q$ 的單位若以 $SI$ 基本單位表示，可表示為 $As$。而電壓的部分，因為 $$W=IVt= FS\;cos\;\theta=maS\;cos\;\theta$$ 可知 $$V=\frac{maS\;cos\;\theta}{It}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)$$ 所以電壓 $V$ 的單位若以 $...

  線性 直流網路的最大功率轉移定理 線性直流網路的最大功率轉移定理 (Maximum Power Transfer Theorem) ： 『一負載能自一電動勢 $E_{TH}$ 的雙埠線性直流網路得到最大功率，發生在當其電阻值 $R_L$ 剛好等於該雙埠 線性直流網路從負載端看進去的戴維寧等效電阻 $R_{TH}$ 時， 而其 最大功率值為  $\frac {E_{TH}^2}{4R_{TH}}$。 』 證明 如下圖所示的網路，為一雙端線性直流網路的戴維寧等效電路與負載端的電路，$0< R_L <  \infty$， 可知 $$I=\frac {E_{TH}}{R_{TH}+R_{L}}$$ 所以 $$P_L=I^2R_L=\frac {E_{TH}^2R_L}{(R_{TH}+R_L)^2}$$ 又 $$\frac {dP_L}{dR_L}=\frac {E_{TH}^2(R_{TH}+R_L)^2-E_{TH}^2[2(R_{TH}+R_L)]}{(R_{TH}+R_L)^2}$$ $$=\frac {E_{TH}^2(R_{TH}+R_L)(R_{TH}-R_L)}{(R_{TH}+R_L)^2}\;\;\;\;\;\;\;\;$$ $$=\frac {E_{TH}^2(R_{TH}-R_L)}{(R_{TH}+R_L)}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$ 令 $\frac {dP_L}{dR_L} = 0$，因為 $E_{TH}^2 \neq 0$，且 $(R_{TH}+R_L)\neq 0$，所以 $R_{TH}-R_L = 0$，即 $$R_L=R_{TH}$$ 為 $P_L(R_L)$ 函數在區間 $(0, \infty )$ 的唯一 臨界值 (Critical Number)。 又 $$\frac {dP_L^2}{dR_L^2}=-E_{TH}^2 < 0 $$ 所以，$P_L(R_L)$ 函數曲線圖為開口向下 (Concave Down) 的曲線。然而，對所有的 $R_L$ 而言， $P_L(R_L)$ 恆大於 0。此外，$R_L\to 0$ 時，$P_L\to 0$，且 $R_L\to \infty$ 時，$P_L\t...

Proof of DeMorgan’s Law 集合代數的第摩根定理： ($a$)    $(x\cup y)^{c} = x^{c}\cap y^{c}$              ($b$)     $(x\cap y)^{c} = x^{c} \cup y^{c}$ 布林代數的第摩根定理： ($a^{'}$)    $(x+y)^{'} = x^{'}·y^{'} $               ($b^{'}$)    $(x·y)^{'} = x^{'}+y^{'} $ 集合代數的第摩根定理，一般可藉由 文氏圖 (Venn Diagrams) 輕易得到證明。本文除了介紹以文氏圖及代數證明集合運算的第摩根定理之外，將以在 $x$ 與 $y$ 為布林代數的二元變數情況下，證明布林代數的第摩根定理。最後並嘗試以真值表搭配 卡諾圖 化簡來提供布林代數的第摩根定理另一種證明方法。 以文氏圖證明集合論的第摩根定理 證明 (a)： 設 $x$ 及 $y$ 為兩相異集合，如下的文氏圖所示： $x\cup y$ $(x\cup y)^c$ 其中的 $(x\cup y)^c$ 為 $(x\cup y)$ 的補集。 $x^c$ $y^c$ $x^c\cap y^c$ 可知 $(x\cup y)^c$ 與 $x^c\cap y^c$ 的圖是一樣的，所以， $$(x\cup y)^c = x^c\cap y^c \;\;\;\;\;\;\;\;\; 得證。$$ 證明 (b)： $(x\cap y)^c$ $x^c$ $y^c$ $x^c\cup y^c$ 可知 $(x\cap y)^c$ 與 $x^c\cup y^c$ 的圖是一樣的，所以 $$(x\cap y)^c = x^c\cup y^c\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 得證。$$ 以代數證明集合論的第摩根定理 證明 (a)： $$\forall \; z \in (x\cup y)^c$$ $$\iff  z \notin (x\cup y)\;\;\;\;\;...