眞趣盎然集

  Current Analysis of A Series RLC Circuit Driven by A Sinusoidal Voltage Input 如圖一所示，為一正弦電動勢的 RLC 串聯電路。 圖一    正弦電動勢 RLC 串聯電路 假設迴路的電流為 $i$，則電阻 $R$ 的電壓降為 $Ri$，電感 $L$ 的電壓降為 $L\frac{di}{dt}$，電容 $C$ 的電壓降為 $\frac{1}{C}\int i\;dt$。根據 $KVL$，可知 $$Ri+L\frac{di}{dt}+\frac{1}{C}\int i\;dt=E\;\sin \omega t$$ 上式等號兩邊對 $t$ 微分，可得 $$R\frac{di}{dt}+L\frac{d^2i}{dt^2}+\frac{i}{C}=E\omega\cos \omega t$$ 整理得 $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{d^2i}{dt^2}+\frac{R}{L}\frac{di}{dt}+\frac{i}{LC}=\frac {E}{L}\omega \cos \omega t\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ 為一 線性二階非齊次微分方程 (Second-order Linear Non-homogeneous Differential Equation)。其通解 (General Solution) 的形式為 $i_h+i_P$，其中的 $i_h$ 為 齊次解 (Homogeneous Solution)，而 $i_p$ 則是 特殊解 (Particular Solution)。 求齊次解 $i_h$ 要找出式子 (1) 的齊次解，即是找出下面式子的的通解。 $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{d^2i}{dt^2}+\frac{R}{L}\frac{di}{dt}+\frac{i}{LC}=0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$ 而 (2) 的 特徵方程式  (Characteristic Equati...

General Solutions of Vector Inner and Outer Product Equations 如下的向量內積向量等式， $c$  為純量 (Scalar)，$\mathbf A$ 為一已知向量，$\mathbf X$ 為未知向量，且 $\mathbf B$ 為任一垂直 $\mathbf A$ 的向量 ( 即 $\mathbf A \cdot \mathbf B =0)$，則該等式與其一般解如下： $1.\;\;c = \mathbf A \cdot \mathbf X$ $\;\;\;\;$則 $\;\;\;\;\mathbf X = \frac{c\; \mathbf A}{\mathbf A \cdot \mathbf A}+\mathbf B$ 推導： 根據公式， $\mathbf X$ 在 $\mathbf A$ 上的 正射影 (Orthogonal Projection)  $$\mathbf D=Proj_{\mathbf  A}\mathbf  X=\frac{\mathbf  X \cdot \mathbf A}{\mathbf A \cdot \mathbf A}\mathbf A$$ 又已知 $\mathbf B$ 為垂直於 $\mathbf A$ 的任一向量，所以 $$\mathbf X=\mathbf D+\mathbf B=\frac{\mathbf  X \cdot \mathbf A}{\mathbf A \cdot \mathbf A}\mathbf A+\mathbf B=\frac{c\;\mathbf A}{\mathbf A \cdot \mathbf A}+\mathbf B$$ ■ 如下的向量外積向量等式，$\mathbf A$ 與 $\mathbf C$ 為已知的向量，$\mathbf C$ 為一未知的向量，且 $k$ 為任一純量，則該等式及其一般解如下： 2.$\;\;\mathbf C=\mathbf A \times \mathbf X$ $\;\;\;\;\;$則 $\;\;\;\;\;\mathbf X=\frac {\mathbf C \times \mathbf A}{\mathbf A \cdot \mathbf A...

Current Analysis of A Series RC Circuit Driven by A Sinusoidal Voltage Input 如圖一所示，為一正弦電動勢 $RC$ 串聯電路，其電流方程式 $i(t)$ 的推導，是先應用 克希荷夫電壓定律 $(KVL)$ 後，將出現的 線性一階微分方程 (Linear First-Order Differential Equation) 進行求解所得到的。其推導的過程說明如下： 圖ㄧ    正弦電動勢 RC 串聯電路 設迴路電流為 $i$，則電阻 $R$ 的電壓降 $v_R=Ri$，且電容 $C$ 的電壓降 $v_C=\frac{1}{C}\int i\;dt$。 因此，根據 $KVL$，可知 $$Ri+\frac{1}{C}\int i\;dt=E\sin \omega t$$ 上式兩邊對 $t$ 微分，可得 $$R\frac{di}{dt}+\frac{i}{C}=E\;\omega \cos \omega t$$ 上式兩邊同除 $R$，可得如下的 非齊次 的 (nonhomogeneous) 線性一階微分方程  ： $$\frac {di}{dt}+\frac{i}{RC}=\frac{E\;\omega}{R}\cos  \omega t\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ 式子 (1) 的積分因子 (Integrating Factor) 為 $$F(t)=e^{h(t)}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;其中\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;h(t)=\int \frac{1}{RC} dt$$ 將式子 (1) 兩邊同乘 $F(t)$，可得 $$e^{\frac{t}{RC}}\frac{di}{dt}+\frac{e^{\frac{t}{RC}}}{RC} i=e^{\frac{t}{RC}}\frac {E\;\omega}{R}\cos  \omega t $$ 即 $$\frac{d(e^{\frac{t}{RC}}i)}{dt}=e^{\frac{t}{RC}}\frac {E\;\omega}{R}\cos \omega...

Current Analysis of A Series RL Circuit  Driven by A Sinusoidal Voltage Input 如圖一所示，為一正弦電動勢 RL 串聯電路，其電流方程式 $i(t)$ 的推導，是先應用 克希荷夫電壓定律 $(KVL)$ 後，將出現的 線性一階微分方程 (Linear First-Order Differential Equation) 進行求解所得到的。其推導的過程說明如下： 圖一    正弦輸入的 RL 串聯電路 設迴路電流為 $i$，則電阻 $R$ 的電壓降 $v_R=Ri$，且電感 $L$ 的電壓降 $v_L=L \frac{di}{dt}$。 因此，根據 $KVL$，可知 $$L\frac{di}{dt}+Ri=E\sin \omega t$$ 上式兩邊同除 $L$，可得如下的 非齊次 的 (nonhomogeneous)  線性一階微分方程 ： $$\frac {di}{dt}+\frac{R}{L}i=\frac{E}{L}\sin  \omega t\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ 令 $\frac {R}{L}=\alpha $，則式子 (1) 的積分因子 (Integrating Factor) 為 $$F(t)=e^{h(t)}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;其中\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;h(t)=\int \alpha dt$$ 將式子 (1) 兩邊同乘 $F(t)$，可得 $$e^{\alpha t}\frac{di}{dt}+e^{\alpha t}\alpha \; i=e^{\alpha t}\frac {E}{L}\sin \omega t $$ $$\frac{d(e^{\alpha t}i)}{dt}=e^{\alpha t}\frac {E}{L}\sin \omega t $$ 即 $$e^{\alpha t}i=\frac{E}{L}\int e^{\alpha t}\sin \omega t\;dt$$ 整理得 $$i=e^{-\alpha t}\frac{E}{L}\int e^{\a...

  Proofs of Triple and  Quadruple  Vector Products 向量三重積 (Vector Triple Product) 的等式如下： $1.\;\; \mathbf A \times (\mathbf B \times \mathbf C)=(\mathbf A \cdot \mathbf C)\mathbf B-(\mathbf A \cdot   \mathbf B)\mathbf C$ 證明： 設  $$\mathbf A=a_1 \;\mathbf i + a_2 \;\mathbf j + a_3\; \mathbf k$$ $$\mathbf B=b_1\; \mathbf i + b_2 \;\mathbf j + b_3 \;\mathbf k$$ $$\mathbf C=c_1 \;\mathbf i + c_2 \;\mathbf j + c_3 \;\mathbf k$$ 則應用外積 (Cross Product) 定義，可知 $$\mathbf B \times \mathbf C = \left |\begin{matrix}\mathbf i & \mathbf j & \mathbf  k \\b_1& b_2 & b_3\\ c_1 & c_2 & c_3 \end{matrix}\right  | \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\left | \begin{matrix}b_2 & b_3 \\ c_2 & c_3 \end {matrix} \right | \;\mathbf i - \left | \begin{matrix}b_1 & b_3 \\ c_1 & c_3 \end {matrix} \right | \;\mathbf j + \left | \begi...

Derivation of  Complex Exponential Fourier Series  Coefficients for  Signals with Half-wave Symmetry   如果一週期性訊號 $x(t)$ 滿足下列條件 $$x(t \pm \frac{1}{2}T) = -x(t)$$ 其中的 $T$ 是該訊號的週期，則該訊號被稱為 半波對稱 (Half-wave Symmetry) 訊號。例如圖一所示，$x(t)$ 就是一個 半波對稱訊號。 圖一      半波對稱 訊號 任意一週期性波形 $x(t)$ 的 複數指數傅立葉級數 (Complex Exponential Fourier Series) 可表示為 $$x(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}C_ne^{jn\omega_{0}t} \; \; \; \;\; \;\; \;\; \;\; \; \; \;\;t_0 \le t \le t_0+T$$ 其中的 $C_n$ 為 $$C_n=\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}x(t)e^{-jn\omega_0t}dt$$ 又上式可改寫成 $$C_n=\frac{1}{T}\left [ \int_{t_0}^{t_0+\frac{T}{2}}x(t)e^{-jn\omega_0t}dt+\int_{t_0+\frac{T}{2}}^{t_0+T}x(t)e^{-jn\omega_0t}dt \right ]$$ 上式第二項的部分，令 $t^{'}=t-\frac{T}{2}$，則 $dt^{'}=dt$，代入上式第二項，可得 $$C_n=\frac{1}{T}\left [\int_{t_0}^{t_0+\frac{T}{2}}x(t)e^{-jn\omega_0t}dt+\int_{t_0}^{t_0+\frac{T}{2}}x(t^{'}+\frac{1}{2}T)e^{-jn\omega_0(t^{'}+\frac{T}{2})}dt^{'}\right ]$$ $$\;\;=\frac{1}{T}\left [\int_{t_0}^{t_0+\frac{T}{2}}x(t)e^{-jn\omega...