眞趣盎然集

Integral of e^(2x)sin 3x 求 $\int e^{2x}\sin 3x\;dx$ 解： $$ \int e^{2x}\sin 3x\;dx=-\frac{1}{3}\left [\int e^{2x}d(\cos 3x)\right ] \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$ $$=-\frac{1}{3}\left [e^{2x}\cos 3x - \int \cos 3x\;d(e^{2x})\right ]\;\;\;\;\;\;$$ $$=-\frac{1}{3}e^{2x}\cos 3x +\frac{1}{3} \int \cos 3x \cdot 2 \cdot e^{2x}dx$$ $$=-\frac{1}{3}e^{2x}\cos 3x +\frac{2}{9} \int e^{2x}d(\sin 3x)\;\;\;\;\;\;\;$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=-\frac{1}{3}e^{2x}\cos 3x +\frac{2}{9}e^{2x}\sin 3x-\frac{2}{9}\int \sin 3x \;d(e^{2x})$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=-\frac{1}{3}e^{2x}\cos 3x +\frac{2}{9}e^{2x}\sin 3x- \frac{4}{9} \int \sin 3x \cdot e^{2x} dx$$ 所以， $$\frac{13}{9}\int e^{2x}\sin 3x\;dx = -\frac {1}{3}e^{2x}\cos 3x + \frac{2}{9}e^{2x}\sin 3x + C^{'}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;C^{'} \in R$$ 即 $$\int e^{2x}\sin 3x\;dx =-\frac{3}{13}e^{2x}\cos 3x+\frac{2}{13}e^{2x}\sin 3x + C\;\;\;\;\;\;\;\...

  A  Pedestrian Crossing Safety Circuit with Self-resetting Functions Using Arduino 先前文章 具有倒數計時自動回復功能的行人穿越道號誌控制電路 是以純硬體電路的方式來完成，本文則是用微控器寫控制程式的方式來達成相同功能。 功能 路口在無行人穿越道路時會有黃燈閃爍；但是當有行人要安全地穿越道路時，行人按下「通行」按鈕後，路口的黃燈會熄滅同時紅燈亮且倒數 30 秒計時開始並顯示。此時，駕駛人看到紅燈亮，車輛會停下來等待行人通過。當倒數計時完畢，路口恢復閃黃燈且紅燈熄滅，車輛恢復通行。

  A Pedestrian Crossing Safety Circuit with Self-resetting Countdown Timer 先前的文章 簡易行人穿越道號誌控制電路 ，行人必須在安全穿越馬路後，手動按下「回復」按鈕，路口的燈號才會由亮紅燈回復到閃黃燈。本文以先前的簡易號誌控制電路為基礎，進一步將電路修改為一具有倒數計時 自動 回復功能的行人穿越道號誌控制電路，如圖一所示。 電路功能 平時路口閃黃燈，當有行人要安全地穿越車道時，可按下「通行」按鈕，按下後路口黃燈熄滅，轉而亮紅燈，行駛的車輛停止行進等待行人通過。此時， 顯示器 會顯示倒數計時起始秒數 30 秒，並開始倒數計時。ㄧ旦倒數計時至 0 ，路口紅燈就熄滅，轉而閃黃燈，原 停止的車輛就可以恢復行駛。 圖一      具有自動倒數計時回復功能的行人穿越道號誌控制電路 (七段顯示器為共陰型) 動作原理 電源打開瞬間， NOR Gate IC 4001 的第 5 腳會接收到邏輯 "1" 的訊號，且無論其第 6 腳接收到的訊號為何，第 4 腳會輸出邏輯 "0" 給 IC 4001 的第 2 與第 1 腳，導致其第 3 腳輸出邏輯 "1" 給 D 型正反器 4013 的第 4 腳 ($CLR$)。此時在第 6 腳 ($PR$) 恆為接地的情況下，IC 4013 的第 1 腳 ($Q$) 會輸出邏輯 "0"，使得紅色 LED 熄滅，且圖中左邊的 555 無穩態振盪器輸出的矩型波的反相波會出現在 IC 4001 的第 11 腳，驅動黃色 LED 閃爍。 電源穩定後，IC 4001 的第 5 腳會接收到邏輯 "0" 的訊號；同時因為左側的 十進制上下數計數器 IC 4029 並未有借位輸出，所以第 7 腳 ($\overline {CARRY \ \ OUT}$) 會輸出邏輯 "1" 給 IC 4001 的第 8 與第 9 腳，導致 IC 4001 的第 10 腳輸出邏輯 "0" 給 IC 4001 的第 6 腳，使得最終 IC 4001 的第 3 腳輸出邏輯 "0" 給 D 型正反器 IC 4013 的第 4 腳 ($CLR$)。在第 6 ...

Integral of x^2 cos x 求 $\int x^2\cos x\;dx$ 解： $$\int x^2\cos x\;dx=\int x^2 d(\sin x)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=x^2\sin x-\int \sin x\;d(x^2)$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=x^2\sin x - 2\int x\sin x\;dx$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=x^2\sin x+2\int x\;d(\cos x)$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=x^2\sin x+2\left (x\cos x-\int \cos x\;dx\right)$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=x^2\sin x+2x\cos x-2\int \cos x\;dx$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=x^2\sin x+2x\cos x-2\int d(\sin x)$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=x^2 \sin x+2x\cos x-2\sin x+C$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=(x^2-2)\sin x+2x\cos x+C$$ ■ 上面的解題過程中，有應用到不定積分的 分部積分 (Integration by parts) 公式，其形式如下： $\int u\;dv = uv - \int v\;du$ 推導： 假設 $u(x)$ 與 $v(x)$ 都有連續的導函數，且 $u(x)v(x)$ 可微，則 $$(uv) ^{'}= u^{'}v+uv^{'}$$ 對上式等號兩邊積分，可得 $$\int (uv)^{'}dx...

  A Simple  Pedestrian Crossing Safety System Using Arduino 先前的一篇文章 — 簡易行人穿越道號誌控制電路 ，是採硬體的方式設計出來的電路。本篇文章則是介紹以微控器靭體的方式撰寫程式來完成此簡單系統。 功能 平時路口閃黃燈，但當行人要安全地穿越車道，行人可按下「通行」按鈕，讓路口原本閃爍的黃燈熄滅，且另外的紅燈變亮，讓看到紅燈亮的車輛停下來等待行人通過。當行人穿越車道後，按下「回復」按鈕，則紅燈變熄滅，黃燈恢復閃爍。

A Simple  Pedestrian Crossing Safety Circuit 如圖一所示為一簡易行人穿越道號誌控制電路，此電路是由 D 型正反器、IC 555 無穩態多諧振盪器 RC 電路以及反或閘 (NOR Gate) 所組成。其功能與電路原理分別說明如下： 功能 平時路口閃黃燈，但當行人要安全地穿越車道，行人可按下「通行」按鈕，讓路口原本閃爍的黃燈熄滅，且另外的紅燈變亮，讓看到紅燈亮的車輛停下來等待行人通過。當行人穿越車道後，按下「回復」按鈕，則紅燈變熄滅，黃燈恢復閃爍。 圖一     行人穿越道號誌控制電路 動作原理 當電源打開瞬間，本身為 NOR Gate 的 IC 4001 的第 5 腳，會出現邏輯 "1" 的訊號 ($0.1\mu F$ 的電容在該瞬間為短路狀態 )，因而 IC 4001 的第 4 腳會輸出邏輯 "0" 給 IC 4001 的第 1 與第 2 腳，IC 4001 的第 3 腳會因此而輸出邏輯 "1" 給 D 型正反器 IC 4013 第 4 腳 (CLR) 。在 IC 4013 第 6 腳 (PR) 恆接地的情況下，導致 IC 4013 第 1 腳 (Q A ) 會輸出邏輯 "0" 的訊號給 IC 4001 的第 12 腳。且電源打開後，計時 IC 555 組成的無穩態多諧振盪器也會開始輸出矩形波至 IC 4001 的第 13 腳〔其原理參見 IC 555 無穩態多諧振盪器的原理與振盪頻率推導 〕。因此，IC 4001 的第 11 腳，在電源打開後會輸出 IC 555 無穩態多諧振盪器輸出矩形波的反相，來讓黃色的 LED 閃爍。 當電源打開一段極短時間穩定後，IC 4001 的第 5 腳會出現邏輯 "0"，第 6 腳一樣同為邏輯 "0"，IC 4001 的第 4 腳因而輸出邏輯 "1" 給 IC 4001 的第 1 與第 2 腳，導致 IC 4001 的第 3 腳輸出邏輯 "0" 給 IC 4013 第 4 腳。此時，IC 4013 的 CLR = "0" 且 PR = "0"，Q A 維持原態輸出邏輯 "0...

Integral from 1 to 4 of  [(4+6u)/sqrt(u)] du 求解  $\int_1^{4} \left ( \frac{4+6u}{\sqrt u}\right)du$  解： 令  $$v = \sqrt u$$ 上式等號兩邊平方可得 $$u =v^2$$ 上式等號兩邊微分可得 $$du=2v\;dv$$ $$\therefore\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \int_1^{4} \left ( \frac{4+6u}{\sqrt u}\right)du = \int_1^{2} \left(\frac{4+6v^2}{v}\right)2v\;dv\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$ $$=\int_1^2(8+12v^2)dv$$ $$=\left.(8v+4v^3)\right\rvert_1^2\;\;\;\;\;\;$$ $$\;\;\;\;\;=(16+32)-(8+4)$$ $$=36\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$ 上面的解法有運用到 變數變換法  (integration by substitution) ，可將原本較為複雜的被積分函數轉換為較為容易積分的函數型式以方便求解。變數變換法的公式及證明如下： $\int_a^b f((g(x))g^{'}(x)dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)du$ [證明] 假設 $F$ 為 $f$ 的反導函數 (antiderivative)，即 $F^{'} = f$，則根據鏈鎖律 (chain rule)， $$F(g(x))^{'} = F^{'}(g(x))g^{'}(x)$$ $$=f(g(x))g^{'}(x)$$ 因此， $$\int_a^b f((g(x))g^{'}(x)dx = \int_a^b F(g(x))^{'}dx$$ $$=F(g(b))-F(g(a))$$ $$=\int_{g(a)}^{g(b)}f(u)du$$ 得證 。 意即在運用變數變換法時，我們可令 $$g(x)=u\;\;\;\;\;\;\;...