眞趣盎然集

Clock with  Thermo-hygrometer   Using Arduino and I2C 16x2 LCD 功能 如圖一與圖二所示，指撥開關 DIP Switch ON 時 LCD 顯示攝氏溫度、相對濕度與時間；指撥開關 DIP Switch OFF 時則可調整時間。其中 Hour 按鈕開關用來調整時，Minute 按鈕開關則可以調整分。 圖一      LCD 顯示攝氏溫度、相對濕度與時間

Integral of Sqrt(x^2+1) from 0 to 1 求 $\int_0^1 \sqrt {x^2+1}\;dx$ 解： $$I=\int_0^1 \sqrt {x^2+1}\;dx$$ 利用 變數變換 (Change of Variable)，令 $$x=\tan \theta$$ 則 $$\theta = \tan^{-1}x$$ 且 $$dx=\sec^2 \theta\;d\theta$$ 代入 $I$，可得 $$I=\int_{\tan^{-1}0}^{\tan^{-1}1}\sqrt{\tan^2 \theta +1}\sec^2 \theta\;d\theta $$ $$\;\;= \int_0^{\frac{\pi}{4}}\sec^3 \theta\;d\theta\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ 已知 $d(\tan \theta)=\sec^2\theta\;d\theta$ ，所以式子 (1) 可改寫成 $$I =\int_0^{\frac{\pi}{4}}\sec \theta\;d(\tan\theta)$$ 接著將上式應用 分部積分 (Integration by Parts) 公式：  $\int u\;dv=uv-\int v\;du$ ，可得 $$I=\left. \sec \theta \tan \theta \right \rvert_0^{\frac{\pi}{4}}-\int_0^{\frac{\pi}{4}}\tan \theta\;d(\sec\theta)\;\;\; $$ 又已知 $d(\sec \theta)=\sec \theta\tan\theta\; d\theta$ ，所以 $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;I=\left [ \sec \left (\frac{\pi}{4}\right )\tan \left (\frac{\pi}{4}\right )-\sec (0)\tan (0) \right ]-\int_0^{\frac{\pi}{4}}\tan \theta \c...

Integral of x/(36-x^2)^(1/2) from 0 to 3 求 $\int_0^3 \frac{x}{\sqrt{36-x^2}}dx$ 解： $$I=\int_0^3 \frac{x}{\sqrt{36-x^2}}\;dx$$ $$\;\;\;\;\;\;\;=\int_0^3 \frac{x}{\sqrt{36(1- \frac{x^2}{36})}}\;dx$$ $$\;\;\;\;\;\;=\int_0^3 \frac{x}{6 \sqrt{1-(\frac{x}{6})^2}}\;dx$$ 利用 變數變換 (Integration by Substitution) ， 令  $$\frac{x}{6} = \sin\theta$$ 可知  $$\theta = \sin^{-1}\frac{x}{6}$$ 且 $$x=6\sin\theta$$ $$dx=6\cos\theta\; d\theta$$ 則 $$\;\;\;\;\;I=\int_{\sin^{-1}0}^{\sin^{-1}\frac{1}{2}} \frac{(6\sin\theta)(6\cos\theta) }{6\sqrt{1-\sin^2\theta}}\;d\theta$$ $$\;\;\;\;=\int_0^{\frac{\pi}{6}}\frac{(6\sin\theta)(6\cos\theta)}{6\cos\theta}\;d\theta\;\;\;$$ $$\;\;=\int_0^{\frac{\pi}{6}}6\sin\theta\; d\theta\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$ $$=-6\int_0^{\frac{\pi}{6}}d(\cos\theta)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$ $$=\left. -6\cos\theta \right\rvert_0^{\frac{\pi}{6}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$ $$\;\;=6(\cos 0-\cos \frac{\pi}{6})\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$ $$=6\left (1-\frac{\sq...

3-section Digital Subsection Switch   如圖一與圖二所示，為具有相同功能的三段式 電子開關電路。二者的差別在於前者的 組合邏輯電路部分是由及閘、反閘以及互斥或閘所組成，而後者則是僅由反或閘所組成。以下將就其功能、電路動作原理以及組合邏輯設計方法分別說明之。 圖一   三段式 電子開關電路圖 ( 組合邏輯部分由及閘、反閘以及互斥或閘所組成 ) 圖二     三段式 電子開關電路圖  ( 組合邏輯部分由反或閘所組成 ) 功能 當開關 SW 第一次閉合 ( 第一段 )，黃色 LED 以及紅色 LED  全亮；開關 SW 第二次閉合 ( 第二段 )，僅黃色 LED 亮；開關 SW 第三次閉合 ( 第三段 )，僅紅色 LED 亮。 動作原理 這個電路的核心是 IC 4017 十進制計數器 (Decade Counter)，其接腳圖與真值表分別如圖三及圖四所示。 圖三    IC 4017 接腳圖 圖四     IC 4017 的真值表 由圖四的真值表與圖五所示的 燈光切換控制 電路 可知 ，當電源接上，IC 4017 的第 3 接腳 $(Q_0)$ 會輸出邏輯 "1"，其餘的輸出 $(Q_1...Q_4)$ 皆會輸出邏輯 "0"。 圖五    燈光切換控制器的開關第一次切上時的狀態 而當開關第一次切上 (SW ON) 時，IC 4017 的第 14 接腳 $(CLOCK)$ 接收到第 $1$ 個正緣時脈，$Q_1$ 會輸出邏輯 "1"，其餘輸出邏輯 "0"，此次輸入為此電子開關電路的第一段開關動作；同理開關第二次切上，第 14 接腳 $(CLOCK)$ 接收到第 $2$ 個正緣時脈，$Q_2$ 輸出邏輯 "1"，其餘輸出邏輯 "0" ( 第二段開關動作 )；開關第三次切上，$Q_3$ 則輸出邏輯 "1"，其餘輸出邏輯 "0" ( 第三段開關動作 )。最後，開關第四次切上，$Q_4$ 輸出邏輯 "1" 給第 15 接腳 $(CLEAR)$ ，回復到 $Q_0 $ 輸出邏輯 "1"，其餘輸出 $(Q_1...Q_4)$ 皆為邏輯 "...

Derivation of  Complex Exponential Fourier Series  Coefficients for  Signals with Half-wave Symmetry   如果一週期性訊號 $x(t)$ 滿足下列條件 $$x(t \pm \frac{1}{2}T) = -x(t)$$ 其中的 $T$ 是該訊號的週期，則該訊號被稱為 半波對稱 (Half-wave Symmetry) 訊號。例如圖一所示，$x(t)$ 就是一個 半波對稱訊號。 圖一      半波對稱 訊號 任意一週期性波形 $x(t)$ 的 複數指數傅立葉級數 (Complex Exponential Fourier Series) 可表示為 $$x(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}C_ne^{jn\omega_{0}t} \; \; \; \;\; \;\; \;\; \;\; \; \; \;\;t_0 \le t \le t_0+T$$ 其中的 $C_n$ 為 $$C_n=\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}x(t)e^{-jn\omega_0t}dt$$ 又上式可改寫成 $$C_n=\frac{1}{T}\left [ \int_{t_0}^{t_0+\frac{T}{2}}x(t)e^{-jn\omega_0t}dt+\int_{t_0+\frac{T}{2}}^{t_0+T}x(t)e^{-jn\omega_0t}dt \right ]$$ 上式第二項的部分，令 $t^{'}=t-\frac{T}{2}$，則 $dt^{'}=dt$，代入上式第二項，可得 $$C_n=\frac{1}{T}\left [\int_{t_0}^{t_0+\frac{T}{2}}x(t)e^{-jn\omega_0t}dt+\int_{t_0}^{t_0+\frac{T}{2}}x(t^{'}+\frac{1}{2}T)e^{-jn\omega_0(t^{'}+\frac{T}{2})}dt^{'}\right ]$$ $$\;\;=\frac{1}{T}\left [\int_{t_0}^{t_0+\frac{T}{2}}x(t)e^{-jn\omega...