眞趣盎然集

若有一以 $a$ 為 底數 (Base) 的指數 (Exponential)   $$a^b=x  \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(a>0，a \ne 1 \;且\; x>0)$$ 則有  $$\;\;\;\;\;\;\;\;b=log_a\; x  \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (a\; 稱為底數，x\; 稱為真數 )$$ 其中 對數 (Logarithm) $log_a\; x$ 的意思是：『$x$ 是 $a$ 的幾次方？』，答案是 $b$ 次方，此即為其對數值。例如 $log_2\; 8 $ 表示的是 $8$ 是 $2$ 的幾次方，即 $log_2\; 8 = 3$。從上述也可看出指數與對數是互為逆運算的。而對數常見的應用則是如下所述的對數和差公式，可將原為乘除的運算，轉換為較簡單的加減運算。以下我們將分別推導對數的一些基本性質與法則： 對數的和差公式 ( Logarithmic Sum and Difference Formulas ) 設底數 $a>0$ 且 $a \neq 1$，真數 $x$ 、$y>0$，則 $log_a\; x+log_a \;y = log_a\; xy$ $log_a\; x-log_a\; y = log_a\; \frac{x}{y}$ 推導： 令 $log_a\;x = m$， $log_a\; y = n$，則  $$x=a^m \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;y=a^n$$ 將 $x$ 與 $y$ 相乘，可得 $$xy=a^{(m+n)}$$ 即 $$log_a\; xy = log_a\; a^{(m+n)}$$ $$\;\;\;\;\;=m+n$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=log_a\; x + log_a \;y$$ 又將 $x$ 與 $y$ 相除，可得 $$\frac{x}{y} = a^{(m-n)}$$ 即 $$log_a\; \frac{x}{y}=log_a\; a^{(m-n)}$$ $$\;\;\;\;\;=m-n$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=log_a\; x...