眞趣盎然集

Integral of xtan^(-1)x 求解 $\int xtan^{-1}xdx$ 解： $$I=\int xtan^{-1}xdx$$ $$\;\;\;\;\;=\int tan^{-1}xd(\frac{x^2}{2})$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{x^2}{2}tan^{-1}x-\int \frac{x^2}{2}d(tan^{-1}x)$$ 已知  $$(tanx)^{'} = (\frac{sinx}{cosx})^{'}=\frac{cos^2x+sin^2x}{cos^2x}=sec^2 x$$ 即 $$\frac{d(tanx)}{dx}=sec^2x$$

Working Principle and Output Pulse Duration Derivation of IC 555 Monostable  Multivibrator 如圖一所示，為一 IC 555 所組成的 單穩態多諧振盪電路 。首先我們先說明此振盪器的原理，接著再來推導此振盪器的輸出脈波寬度公式。 圖一      IC 555 單穩態多諧振盪電路

Integral of (sqrt(x^2+4x+5))^(-1) 求 $\int \frac{dx}{\sqrt {x^2+4x+5}}$ 解： $$I=\int \frac{dx}{\sqrt {x^2+4x+5}}$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;=\int \frac{dx}{\sqrt {x^2+4x+4+1}}$$ $$\;\;\;=\int \frac{dx}{\sqrt {(x+2)^2+1}}$$ 令 $x+2=tan \theta$，則 $\theta = tan^{-1}(x+2)$，且 $dx = sec^2\theta d\theta$，可得

Integral of x sin^-1 x 求 $\int x sin^{-1}xdx$ 解 ： 令 $$I = \int xsin^{-1}xdx$$ $$\;\;\;\;\;\;=\int sin^{-1}xd(\frac{x^2}{2})$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{1}{2}\int sin^{-1}xd(x^2)$$ 上式利用分部積分 (Integration by parts)，可得 $$I =\frac{1}{2}(sin^{-1}x)(x^{2})-\frac{1}{2}\int x^2d(sin^{-1})$$ 因為 $$sin(sin^{-1}x)=x$$

Working Principle and Frequency Derivation of a CMOS Astable Multivibrator 如圖一所示，為 CMOS 反閘的無穩態多諧振盪器。其中的 CMOS 反閘 (NOT GATE)，常可用 CMOS 反或閘 (NOR GATE) 代用，如圖二所示。 圖一     CMOS 反閘無穩態多諧振盪器