x sin^-1 x 的積分 | 分部積分推導 | 變數變換法的公式及證明

Integral of x sin^-1 x

求 $\int x \sin^{-1}x\;dx$

解：

令

$$I = \int x \sin^{-1}x\;dx$$

$$\;\;\;\;\;\;=\int \sin^{-1}x\;d(\frac{x^2}{2})$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{1}{2}\int \sin^{-1}x\;d(x^2)$$

上式利用分部積分 (Integration by parts)，可得

$$I =\frac{1}{2}(\sin^{-1}x)(x^{2})-\frac{1}{2}\int x^2d(sin^{-1}x)$$

因為

$$\sin (sin^{-1}x)=x$$

將上式等號兩邊微分，可得

$$\cos (\sin^{-1}x)d(sin^{-1}x) = dx\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$

圖一    描述 $\sin (sin^{-1}x) = x$，$\cos (sin^{-1}x) = \sqrt {1-x^2}$  關係式的直角三角形

然而如圖一所示，可知

$$\cos (\sin^{-1}x) = \sqrt {1-x^2}$$

代入式子 (1) 可得

$$\sqrt {1-x^2}\;d(\sin^{-1}x) = dx$$

即

$$d(\sin^{-1}x)=\frac{dx}{\sqrt {1-x^2}}$$

所以，

$$I=\frac{x^2}{2}\sin^{-1}x-\frac{1}{2}\int \frac{x^2}{1-x^2}dx$$

接著令 $x=\sin \theta$，則 $\theta = \sin^{-1}x$，且 $dx = \cos \theta \;d\theta$，因此上式可改寫成

$$\;\;I=\frac{x^2}{2}\sin^{-1}x-\frac{1}{2}\int \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta}\cos \theta\; d \theta$$

$$=\frac{x^2}{2}\sin^{-1}x-\frac{1}{2}\int \sin^2 \theta \;d \theta\;\;\;\;$$

$$\;\;\;\;=\frac{x^2}{2}\sin^{-1}x-\frac{1}{4}\int (1-\cos 2\theta)d\theta$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{x^2}{2}\sin^{-1}x-\frac{1}{4}\int d\theta + \frac{1}{4}\int \cos 2\theta\; d\theta$$

$$\;\;\;\;\;=\frac{x^2}{2}\sin^{-1}x-\frac{1}{4}\theta + \frac{1}{8}\int d(\sin 2\theta)$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{x^2}{2}\sin^{-1}x-\frac{1}{4}\sin^{-1}x + \frac{1}{8}\sin 2\theta + C$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{x^2}{2}\sin^{-1}x-\frac{1}{4}\sin^{-1}x + \frac{1}{8}(2 \sin  \theta \cos \theta)  + C$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{x^2}{2}\sin^{-1}x-\frac{1}{4}\sin^{-1}x + \frac{1}{4}x\sqrt{1-x^2} + C$$

■

上面的解題過程中，有應用到不定積分的分部積分 (Integration by parts) 公式，其形式與推導如下：

 

$\int u\;dv = uv - \int v\;du$

推導：

假設 $u(x)$ 與 $v(x)$ 都有連續的導函數，且 $u(x)v(x)$ 可微，則

$(uv) ^{'}= u^{'}v+uv^{'}$

對上式等號兩邊積分，可得

$\int (uv)^{'}dx = \int (u^{'}v+uv^{'})dx$

又根據積分的線性性質，上式可以改寫成

$\int (uv)^{'}dx = \int u^{'}v\;dx + \int uv^{'}\;dx$

即

$\int d(uv) = \int v\;du + \int u\;dv$

可知

$uv = \int v\;du + \int u\;dv$

最後可得

$\int u\;dv = uv - \int v\;du$

■

所以上面的解題過程中

$\int sin^{-1}x\;d(x^2)=\sin^{-1}x(x^2)-\int x^2\;d(sin^{-1}x)$

又上面的解法也有運用到變數變換法 (Integration by Substitution) ，可將原本較為複雜的被積分函數轉換為較為容易積分的函數型式以方便求解。變數變換法的公式及證明如下：

$\int_a^b f((g(x))g^{'}(x)dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)du$

證明：

假設 $F$ 為 $f$ 的反導函數 (Antiderivative)，即 $F^{'} = f$，則根據鏈鎖律 (chain rule)，

$$F(g(x))^{'} = F^{'}(g(x))g^{'}(x)$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=f(g(x))g^{'}(x)$$

因此，

$$\int_a^b f((g(x))g^{'}(x)dx = \int_a^b F(g(x))^{'}dx\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=F(g(b))-F(g(a))$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\int_{g(a)}^{g(b)}f(u)du$$

得證。

■

所以上面的解題過程中

$I^{'}=\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx$

可令

$$x = \sin \theta$$

則

$$dx=\cos \theta \;d\theta$$

即

$$\;I^{'}=\int \frac{\sin^2\theta}{\cos\theta}\cos\theta\; d\theta$$

$$=\int \sin^2\theta\; d\theta\;\;\;\;$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{1}{2}\int (1-\cos 2 \theta )d \theta$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{1}{2}\int d \theta -\frac{1}{2} \int  \cos 2\theta\; d\theta$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{1}{2}\theta - \frac{1}{4}\int d(\sin 2\theta)$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{1}{2}\sin^{-1}x-\frac{1}{4}\sin 2\theta + C^{'}$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{1}{2}\sin^{-1}x-\frac{1}{2}\sin\theta \cos \theta + C^{'}$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{1}{2}\sin^{-1}x-\frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2}+ C^{'}$$

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