x sin^-1 x 的積分

Integral of x sin^-1 x

求 $\int x sin^{-1}xdx$

解：

令

$$I = \int xsin^{-1}xdx$$

$$\;\;\;\;\;\;=\int sin^{-1}xd(\frac{x^2}{2})$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{1}{2}\int sin^{-1}xd(x^2)$$

上式利用分部積分 (Integration by parts)，可得

$$I =\frac{1}{2}(sin^{-1}x)(x^{2})-\frac{1}{2}\int x^2d(sin^{-1})$$

因為

$$sin(sin^{-1}x)=x$$

將上式等號兩邊微分，可得

$$cos(sin^{-1}x)d(sin^{-1}x) = dx\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$

圖一    描述 $sin(sin^{-1}x) = x$，$cos(sin^{-1}x) = \sqrt {1-x^2}$  關係式的直角三角形

然而如圖一所示，可知

$$cos(sin^{-1}x) = \sqrt {1-x^2}$$

代入式子 (1) 可得

$$\sqrt {1-x^2}\;d(sin^{-1}x) = dx$$

即

$$d(sin^{-1}x)=\frac{dx}{\sqrt {1-x^2}}$$

所以，

$$I=\frac{x^2}{2}sin^{-1}x-\frac{1}{2}\int \frac{x^2}{1-x^2}dx$$

接著令 $x=sin\theta$，則 $\theta = sin^{-1}x$，且 $dx = cos\theta \;d\theta$，因此上式可改寫成

$$I=\frac{x^2}{2}sin^{-1}x-\frac{1}{2}\int \frac{sin^2 \theta}{cos \theta}cos \theta d \theta$$

$$=\frac{x^2}{2}sin^{-1}x-\frac{1}{2}\int sin^2 \theta d \theta\;\;\;\;\;$$

$$\;\;\;=\frac{x^2}{2}sin^{-1}x-\frac{1}{4}\int (1-cos2\theta)d\theta$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{x^2}{2}sin^{-1}x-\frac{1}{4}\int d\theta + \frac{1}{4}\int cos2\theta d\theta$$

$$\;\;\;\;\;=\frac{x^2}{2}sin^{-1}x-\frac{1}{4}\theta + \frac{1}{8}\int d(sin2\theta)$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{x^2}{2}sin^{-1}x-\frac{1}{4}sin^{-1}x + \frac{1}{8}sin2\theta + C$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{x^2}{2}sin^{-1}x-\frac{1}{4}sin^{-1}x + \frac{1}{8}(2sin \theta cos \theta)  + C$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{x^2}{2}sin^{-1}x-\frac{1}{4}sin^{-1}x + \frac{1}{4}x\sqrt{1-x^2} + C$$

■

上面的解題過程中，有應用到不定積分的分部積分 (Integration by parts) 公式，其形式與推導如下：

 

$\int udv = uv - \int vdu$

推導：

假設 $u(x)$ 與 $v(x)$ 都有連續的導函數，且 $u(x)v(x)$ 可微，則

$(uv) ^{'}= u^{'}v+uv^{'}$

對上式等號兩邊積分，可得

$\int (uv)^{'}dx = \int (u^{'}v+uv^{'})dx$

又根據積分的線性性質，上式可以改寫成

$\int (uv)^{'}dx = \int u^{'}vdx + \int uv^{'}dx$

即

$\int d(uv) = \int vdu + \int udv$

可知

$uv = \int vdu + \int udv$

最後可得

$\int udv = uv - \int vdu$

■

所以上面的解題過程中

$\int sin^{-1}xd(x^2)=sin^{-1}x(x^2)-\int x^2d(sin^{-1}x)$

又上面的解法也有運用到變數變換法 (Integration by Substitution) ，可將原本較為複雜的被積分函數轉換為較為容易積分的函數型式以方便求解。變數變換法的公式及證明如下：

$\int_a^b f((g(x))g^{'}(x)dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)du$

證明：

假設 $F$ 為 $f$ 的反導函數 (Antiderivative)，即 $F^{'} = f$，則根據鏈鎖律 (chain rule)，

$$F(g(x))^{'} = F^{'}(g(x))g^{'}(x)$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=f(g(x))g^{'}(x)$$

因此，

$$\int_a^b f((g(x))g^{'}(x)dx = \int_a^b F(g(x))^{'}dx\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=F(g(b))-F(g(a))$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\int_{g(a)}^{g(b)}f(u)du$$

得證。

■

所以上面的解題過程中

$I^{'}=\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx$

可令

$$x = sin \theta$$

則

$$dx=cos\theta d\theta$$

即

$$I^{'}=\int \frac{sin^2\theta}{cos\theta}cos\theta d\theta$$

$$=\int sin^2\theta d\theta\;\;\;\;$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{1}{2}\int (1-cos2 \theta )d \theta$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{1}{2}\int d \theta -\frac{1}{2} \int  cos2\theta d\theta$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{1}{2}\theta - \frac{1}{4}\int d(sin2\theta)$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{1}{2}sin^{-1}x-\frac{1}{4}sin2\theta + C^{'}$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{1}{2}sin^{-1}x-\frac{1}{2}sin\theta cos \theta + C^{'}$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{1}{2}sin^{-1}x-\frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2}+ C^{'}$$

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