分壓偏壓 BJT 放大電路的直流分析及其近似解的條件

作者： Danny Yang
DC Analysis of a Voltage Divider BJT Bias Circuit and Its Conditions of Approximate Method 

如圖一所示為一分壓偏壓 BJT 放大電路 (Voltage Divider BJT Bias Circuit)，下面我們將分別介紹如何以精確分析法以及近似解方法來進行該類型放大電路的直流分析，同時也會說明使用近似解的先決條件為何。

分壓偏壓 BJT 放大電路
圖一    分壓偏壓 BJT 放大電路


精確分析法 (Exact Method)

要作直流分析，如圖二所示得先將圖一的分壓偏壓 BJT 放大電路中電晶體基極左側部分，進行戴維寧等效電路 ( Thévenin Equivalent Network) 的轉換，以方便分析。


圖二  分壓偏壓 BJT 放大電路電晶體基級左側部分，進行戴維寧等效電路轉換


根據戴維寧定理  (Thévenin Theorem)：
$$V_{TH} = V_{CC}\times \frac{R_2}{R_1+R_2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$
$$R_{TH} = R_1\; ||\; R_2 = \frac{R_1 R_2}{R_1+R_2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$
應用 $KVL$ 於輸入迴路，可知
$$V_{TH} = I_B R_{TH} + V_{BE} + I_E R_E$$    
又假設此放大電路的電晶體在主動區 (Active Region) 操作，且共射極電流增益為 $\beta$，則 $I_E = (1+\beta)I_B$ 代入上式，可得
$$I_B = \frac{V_{TH} - V_{BE}}{R_{TH} + (1+\beta)R_E}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)$$
接著應用 $KVL$ 於輸出迴路，可知
$$V_{CC} = I_C R_C + V_{CE} + I_E R_E$$
再將 $I_C = \beta I_B$ 及 $I_E = (1+\beta)I_B$ 代入上式，可得
$$V_{CE} = V_{CC} - I_B\;[\;\beta R_C + (1+\beta)R_E\;]\;$$
若 $\beta >> 1$，則
$$V_{CE} \simeq V_{CC} - \beta I_B(R_C + R_E)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(4)$$
最後驗證  $\beta I_B < I_{C(sat)} = \frac{V_{CC} - V_{CE(sat)}}{R_C + R_E}$ ，或是 $ V_{CE} > V_{CE(sat)}$ 是否成立？以確定此放大電路的電晶體在主動區操作的假設是正確的。


例題一：如圖一所示的分壓偏壓 BJT 放大電路，若 $V_{CC} = 15\; V$、$R_1 = 90\; K \Omega$、$R_2 = 10 \;K \Omega$ 、 $R_C = 2 \;K \Omega$、$R_E = 1 \;K \Omega$、$\beta = 99$，試求 $I_C$ 以及 $V_{CE}$ 為何？


解：

由式子 (1) 可知
$$V_{TH} = 15 \times \frac{10K}{90K + 10K } = 1.5 \;V$$
又由式子 (2) 可知
$$R_{TH} = 90K\;||\; 10K =9K \;\Omega $$
且由式子 (3) 也可知
$$I_B = \frac{1.5 - 0.7}{9K + (1+99)K} = 7.34 \mu \;A$$
假設此放大電路的電晶體在主動區操作，則
$$I_C = \beta I_B = 0.73m\;A$$
由式子(4) 可知
$$V_{CE} \simeq 15 - 99 \times 7.34 \mu (2K+1K) = 12.2\;V$$
驗證：$V_{CE} > V_{CE(sat)} = 0.2\;V $，假設正確。


近似分析法 (Approximate Method)

已知
$$I_E = (1+\beta)I_B$$
將式子 (1) 代入上式，可得
$$I_E = (1 + \beta ) \frac{V_{TH} - V_{BE}}{R_{TH}+(1+\beta)R_E}$$
若 $R_{TH} << (1+\beta)R_E$ ，則上式可改寫成
$$I_E \simeq  (1 + \beta ) \frac{V_{TH} - V_{BE}}{(1+\beta)R_E}$$
亦即
$$I_E \simeq \frac{V_{TH} - V_{BE}}{R_E}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(5)$$
又如圖二所示，可知
$$I_E = \frac{V_B - V_{BE}}{R_E}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(6)$$
式子 (5) 與 (6) 比較可知
$$V_B \simeq V_{TH}=V_{CC}\times \frac{R_2}{R_1+R_2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(7)$$
亦即
$$I_B \simeq 0$$


例題二：同例題一，但改用近似分析法求解。

解：

假設此放大電路的電晶體在主動區操作，因為 $(1+\beta)R_E = 100K\; \Omega >> R_{TH} = 9K\; \Omega$  滿足使用近似分析法條件，所以可以用近似分析法求解。

如圖三所示：

滿足近似解條件的分壓偏壓 BJT 放大電路
圖三  滿足近似解條件的分壓偏壓 BJT 放大電路

$$V_B \simeq V_{CC}\;\frac{R_2}{R_1+R_2}=15 \times\frac{10K}{10K+90K}=1.5\;V$$
$$V_E=V_B-0.7=1.5-0.7=0.8\;V$$
$$I_E =\frac{V_E}{R_E}=\frac{0.8}{1K}=0.8m\;A$$
且因 $\beta >> 1$，所以 $I_C \simeq I_E$，即
$$I_C \simeq 0.8mA\;$$
又
$$V_{CE} \simeq V_{CC} - I_C(R_C + R_E)$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\simeq 15 - 0.8m(2K +1K)$$
$$=12.6\;V\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$               

驗證： $V_{CE}>V_{CE(sat)}=0.2\;V$，故假設正確。

比較採用精確解的例題一與採用近似解的例題二，近似解的誤差其實是極小。


近似分析法的前提條件總結

以近似分析法對分壓偏壓 BJT 放大電路作直流分析，可簡化運算。但可採用近似分析法的前提條件是：
$$R_{TH} << (1+\beta)R_E$$
或是
$$I_B \simeq 0 $$





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