眞趣盎然集

Integral of x sin^-1 x 求 $\int x \sin^{-1}x\;dx$ 解 ： 令 $$I = \int x \sin^{-1}x\;dx$$ $$\;\;\;\;\;\;=\int \sin^{-1}x\;d(\frac{x^2}{2})$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{1}{2}\int \sin^{-1}x\;d(x^2)$$ 上式利用分部積分 (Integration by parts)，可得 $$I =\frac{1}{2}(\sin^{-1}x)(x^{2})-\frac{1}{2}\int x^2d(sin^{-1}x)$$ 因為 $$\sin (sin^{-1}x)=x$$ 將上式等號兩邊微分，可得 $$\cos (\sin^{-1}x)d(sin^{-1}x) = dx\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ 圖一     描述 $\sin (sin^{-1}x) = x$，$\cos (sin^{-1}x) = \sqrt {1-x^2}$  關係式的直角三角形 然而如圖一所示，可知 $$\cos (\sin^{-1}x) = \sqrt {1-x^2}$$ 代入式子 (1)  可得 $$\sqrt {1-x^2}\;d(\sin^{-1}x) = dx$$ 即 $$d(\sin^{-1}x)=\frac{dx}{\sqrt {1-x^2}}$$ 所以， $$I=\frac{x^2}{2}\sin^{-1}x-\frac{1}{2}\int \frac{x^2}{1-x^2}dx$$ 接著令 $x=\sin \theta$，則 $\theta = \sin^{-1}x$，且 $dx = \cos \theta \;d\theta$，因此上式可改寫成 $$\;\;I=\frac{x^2}{2}\sin^{-1}x-\frac{1}{2}\int \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta}\cos \theta\; d \theta$$ $$=\frac{x^2}{2}\sin^{-1}x-\frac{1}{2}\int \sin^2 \theta \;d \theta\;\;\;\...