眞趣盎然集

Current Analysis of A Series RC Circuit Driven by A Sinusoidal Voltage Input 如圖一所示，為一正弦電動勢 $RC$ 串聯電路，其電流方程式 $i(t)$ 的推導，是先應用 克希荷夫電壓定律 $(KVL)$ 後，將出現的 線性一階微分方程 (Linear First-Order Differential Equation) 進行求解所得到的。其推導的過程說明如下： 圖ㄧ    正弦電動勢 RC 串聯電路 設迴路電流為 $i$，則電阻 $R$ 的電壓降 $v_R=Ri$，且電容 $C$ 的電壓降 $v_C=\frac{1}{C}\int i\;dt$。 因此，根據 $KVL$，可知 $$Ri+\frac{1}{C}\int i\;dt=E\sin \omega t$$ 上式兩邊對 $t$ 微分，可得 $$R\frac{di}{dt}+\frac{i}{C}=E\;\omega \cos \omega t$$ 上式兩邊同除 $R$，可得如下的 非齊次 的 (nonhomogeneous) 線性一階微分方程  ： $$\frac {di}{dt}+\frac{i}{RC}=\frac{E\;\omega}{R}\cos  \omega t\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ 式子 (1) 的積分因子 (Integrating Factor) 為 $$F(t)=e^{h(t)}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;其中\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;h(t)=\int \frac{1}{RC} dt$$ 將式子 (1) 兩邊同乘 $F(t)$，可得 $$e^{\frac{t}{RC}}\frac{di}{dt}+\frac{e^{\frac{t}{RC}}}{RC} i=e^{\frac{t}{RC}}\frac {E\;\omega}{R}\cos  \omega t $$ 即 $$\frac{d(e^{\frac{t}{RC}}i)}{dt}=e^{\frac{t}{RC}}\frac {E\;\omega}{R}\cos \omega...

Current Analysis of A Series RL Circuit  Driven by A Sinusoidal Voltage Input 如圖一所示，為一正弦電動勢 RL 串聯電路，其電流方程式 $i(t)$ 的推導，是先應用 克希荷夫電壓定律 $(KVL)$ 後，將出現的 線性一階微分方程 (Linear First-Order Differential Equation) 進行求解所得到的。其推導的過程說明如下： 圖一    正弦輸入的 RL 串聯電路 設迴路電流為 $i$，則電阻 $R$ 的電壓降 $v_R=Ri$，且電感 $L$ 的電壓降 $v_L=L \frac{di}{dt}$。 因此，根據 $KVL$，可知 $$L\frac{di}{dt}+Ri=E\sin \omega t$$ 上式兩邊同除 $L$，可得如下的 非齊次 的 (nonhomogeneous)  線性一階微分方程 ： $$\frac {di}{dt}+\frac{R}{L}i=\frac{E}{L}\sin  \omega t\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ 令 $\frac {R}{L}=\alpha $，則式子 (1) 的積分因子 (Integrating Factor) 為 $$F(t)=e^{h(t)}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;其中\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;h(t)=\int \alpha dt$$ 將式子 (1) 兩邊同乘 $F(t)$，可得 $$e^{\alpha t}\frac{di}{dt}+e^{\alpha t}\alpha \; i=e^{\alpha t}\frac {E}{L}\sin \omega t $$ $$\frac{d(e^{\alpha t}i)}{dt}=e^{\alpha t}\frac {E}{L}\sin \omega t $$ 即 $$e^{\alpha t}i=\frac{E}{L}\int e^{\alpha t}\sin \omega t\;dt$$ 整理得 $$i=e^{-\alpha t}\frac{E}{L}\int e^{\a...

  求解  $\int x^3 \cos 2x\;dx$  解： 令 $$I = \int x^3 \cos 2x\;dx$$  因為 $d(\sin 2x)=2\cos 2x\;dx$，即 $\cos 2x\;dx=\frac{1}{2}d(\sin 2x)$，代入 $I$ 可得 $$I= \frac{1}{2}\int x^3\;d(\sin 2x)$$ 利用不定積分的 分部積分 (Integration by Parts) 公式： $$\int u\;dv=uv-\int v\;du$$ 令 $u=x^3$、$v=\sin 2x$，則 $$I=\frac{1}{2}\left [x^3\sin 2x-\int \sin 2x\;d(x^3)\right ]\;\;\;\;\;$$ $$=\frac{1}{2}\left [x^3 \sin 2x-3\int x^2\sin 2x\;dx \right ]$$ 因為 $d(\cos 2x) = -2\sin 2x\;dx$，即 $\sin 2x\;dx = - \frac{1}{2}d(\cos 2x)$，代入 $I$ 可得 $$I=\frac{1}{2}\left [x^3\sin 2x+\frac{3}{2}\int x^2 \;d(\cos 2x) \right ]$$ 再用一次分部積分公式，令 $u=x^2$、$v=\cos 2x$，則 $$I=\frac{1}{2}\left [x^3\sin 2x+\frac{3}{2}x^2\;\cos 2x-\frac{3}{2}\int \cos 2x\;d(x^2) \right ]$$ $$\;\;\;\;\;=\frac{1}{2}\left [x^3\sin 2x+\frac{3}{2}x^2\cos 2x-\frac{3}{2}\int \cos 2x\;(2x\;dx) \right ]$$ 又 $d(\sin 2x) = 2\cos 2x\;dx$，所以上式可改寫成 $$I=\frac{1}{2}\left [ x^3 \sin 2x+\frac{3}{2}x^2 \cos 2x-\frac{3}{2}\int x\;d(\sin 2x) \right ]$$ 接著繼續再用一次分部積分公式，令 $u=x$、$...

Integral of Sqrt(x^2+1) from 0 to 1 求 $\int_0^1 \sqrt {x^2+1}\;dx$ 解： $$I=\int_0^1 \sqrt {x^2+1}\;dx$$ 利用 變數變換 (Change of Variable)，令 $$x=\tan \theta$$ 則 $$\theta = \tan^{-1}x$$ 且 $$dx=\sec^2 \theta\;d\theta$$ 代入 $I$，可得 $$I=\int_{\tan^{-1}0}^{\tan^{-1}1}\sqrt{\tan^2 \theta +1}\sec^2 \theta\;d\theta $$ $$\;\;= \int_0^{\frac{\pi}{4}}\sec^3 \theta\;d\theta\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ 已知 $d(\tan \theta)=\sec^2\theta\;d\theta$ ，所以式子 (1) 可改寫成 $$I =\int_0^{\frac{\pi}{4}}\sec \theta\;d(\tan\theta)$$ 接著將上式應用 分部積分 (Integration by Parts) 公式：  $\int u\;dv=uv-\int v\;du$ ，可得 $$I=\left. \sec \theta \tan \theta \right \rvert_0^{\frac{\pi}{4}}-\int_0^{\frac{\pi}{4}}\tan \theta\;d(\sec\theta)\;\;\; $$ 又已知 $d(\sec \theta)=\sec \theta\tan\theta\; d\theta$ ，所以 $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;I=\left [ \sec \left (\frac{\pi}{4}\right )\tan \left (\frac{\pi}{4}\right )-\sec (0)\tan (0) \right ]-\int_0^{\frac{\pi}{4}}\tan \theta \c...

Integral of x tan^(-1) x 求解 $\int x\tan^{-1}x\;dx$ 解： $$I=\int x\tan^{-1}x\;dx\;$$ $$\;\;\;\;=\int \tan^{-1}x\;d(\frac{x^2}{2})$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{x^2}{2}\tan^{-1}x-\int \frac{x^2}{2}d(\tan^{-1}x)$$ 已知  $$(\tan x)^{'} = (\frac{\sin x}{\cos x})^{'}=\frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x}=\sec^2 x$$ 即 $$\frac{d(\tan x)}{dx}=\sec^2 x$$ 所以， $$d(\tan x)=\sec^2 x\;dx$$ 又 $$\tan \left (\tan^{-1}x \right )=x$$ $$d \left [\tan \left (\tan^{-1}x \right ) \right ]=dx$$ $$\sec^2 \left (\tan^{-1}x \right )d \left (\tan^{-1}x \right )=dx$$ $$\left [1+\tan^2 \left (\tan^{-1}x \right )\right]d(\tan^{-1}x)=dx$$ $$(1+x^2)d(\tan^{-1}x)=dx$$ 可得 $$d \left (tan^{-1}x \right )=\frac{dx}{1+x^2}$$ 因此， $$I=\frac{x^2}{2}\tan^{-1}x-\int \frac{x^2}{2}\frac{dx}{1+x^2}$$ $$\;\;\;\;\;=\frac{x^2}{2}\tan^{-1}x-\frac{1}{2} \int \frac{x^2}{1+x^2}dx$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{x^2}{2}\tan^{-1}x-\frac{1}{2} \int \frac{1+x^2-1}{1+x^2}dx$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\...

Integral of x sin^-1 x 求 $\int x \sin^{-1}x\;dx$ 解 ： 令 $$I = \int x \sin^{-1}x\;dx$$ $$\;\;\;\;\;\;=\int \sin^{-1}x\;d(\frac{x^2}{2})$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{1}{2}\int \sin^{-1}x\;d(x^2)$$ 上式利用分部積分 (Integration by parts)，可得 $$I =\frac{1}{2}(\sin^{-1}x)(x^{2})-\frac{1}{2}\int x^2d(sin^{-1}x)$$ 因為 $$\sin (sin^{-1}x)=x$$ 將上式等號兩邊微分，可得 $$\cos (\sin^{-1}x)d(sin^{-1}x) = dx\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ 圖一     描述 $\sin (sin^{-1}x) = x$，$\cos (sin^{-1}x) = \sqrt {1-x^2}$  關係式的直角三角形 然而如圖一所示，可知 $$\cos (\sin^{-1}x) = \sqrt {1-x^2}$$ 代入式子 (1)  可得 $$\sqrt {1-x^2}\;d(\sin^{-1}x) = dx$$ 即 $$d(\sin^{-1}x)=\frac{dx}{\sqrt {1-x^2}}$$ 所以， $$I=\frac{x^2}{2}\sin^{-1}x-\frac{1}{2}\int \frac{x^2}{1-x^2}dx$$ 接著令 $x=\sin \theta$，則 $\theta = \sin^{-1}x$，且 $dx = \cos \theta \;d\theta$，因此上式可改寫成 $$\;\;I=\frac{x^2}{2}\sin^{-1}x-\frac{1}{2}\int \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta}\cos \theta\; d \theta$$ $$=\frac{x^2}{2}\sin^{-1}x-\frac{1}{2}\int \sin^2 \theta \;d \theta\;\;\;\...

Integral of e^(2x)sin 3x 求 $\int e^{2x}\sin 3x\;dx$ 解： $$ \int e^{2x}\sin 3x\;dx=-\frac{1}{3}\left [\int e^{2x}d(\cos 3x)\right ] \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$ $$=-\frac{1}{3}\left [e^{2x}\cos 3x - \int \cos 3x\;d(e^{2x})\right ]\;\;\;\;\;\;$$ $$=-\frac{1}{3}e^{2x}\cos 3x +\frac{1}{3} \int \cos 3x \cdot 2 \cdot e^{2x}dx$$ $$=-\frac{1}{3}e^{2x}\cos 3x +\frac{2}{9} \int e^{2x}d(\sin 3x)\;\;\;\;\;\;\;$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=-\frac{1}{3}e^{2x}\cos 3x +\frac{2}{9}e^{2x}\sin 3x-\frac{2}{9}\int \sin 3x \;d(e^{2x})$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=-\frac{1}{3}e^{2x}\cos 3x +\frac{2}{9}e^{2x}\sin 3x- \frac{4}{9} \int \sin 3x \cdot e^{2x} dx$$ 所以， $$\frac{13}{9}\int e^{2x}\sin 3x\;dx = -\frac {1}{3}e^{2x}\cos 3x + \frac{2}{9}e^{2x}\sin 3x + C^{'}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;C^{'} \in R$$ 即 $$\int e^{2x}\sin 3x\;dx =-\frac{3}{13}e^{2x}\cos 3x+\frac{2}{13}e^{2x}\sin 3x + C\;\;\;\;\;\;\;\...

Integral of x^2 cos x 求 $\int x^2\cos x\;dx$ 解： $$\int x^2\cos x\;dx=\int x^2 d(\sin x)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=x^2\sin x-\int \sin x\;d(x^2)$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=x^2\sin x - 2\int x\sin x\;dx$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=x^2\sin x+2\int x\;d(\cos x)$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=x^2\sin x+2\left (x\cos x-\int \cos x\;dx\right)$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=x^2\sin x+2x\cos x-2\int \cos x\;dx$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=x^2\sin x+2x\cos x-2\int d(\sin x)$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=x^2 \sin x+2x\cos x-2\sin x+C$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=(x^2-2)\sin x+2x\cos x+C$$ ■ 上面的解題過程中，有應用到不定積分的 分部積分 (Integration by parts) 公式，其形式如下： $\int u\;dv = uv - \int v\;du$ 推導： 假設 $u(x)$ 與 $v(x)$ 都有連續的導函數，且 $u(x)v(x)$ 可微，則 $$(uv) ^{'}= u^{'}v+uv^{'}$$ 對上式等號兩邊積分，可得 $$\int (uv)^{'}dx...