X^2 cosx 的積分

Integral of x^2 cosx

求 $\int x^2cosxdx$

解：

$$\int x^2cosxdx=\int x^2d(sinx)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=x^2sinx-\int sinxd(x^2)$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=x^2sinx - 2\int xsinxdx$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=x^2sinx+2\int xd(cosx)$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=x^2sinx+2\left (xcosx-\int cosxdx\right)$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=x^2sinx+2xcosx-2\int cosxdx$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=x^2sinx+2xcosx-2\int d(sinx)$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=x^2sinx+2xcosx-2sinx+C$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=(x^2-2)sinx+2xcosx+C$$

■

上面的解題過程中，有應用到不定積分的分部積分 (Integration by parts) 公式，其形式如下：

$\int udv = uv - \int vdu$

推導：

假設 $u(x)$ 與 $v(x)$ 都有連續的導函數，且 $u(x)v(x)$ 可微，則

$$(uv) ^{'}= u^{'}v+uv^{'}$$

對上式等號兩邊積分，可得

$$\int (uv)^{'}dx = \int (u^{'}v+uv^{'})dx$$

又根據積分的線性性質，上式可以改寫成

$$\int (uv)^{'}dx = \int u^{'}vdx + \int uv^{'}dx$$

即

$$\int d(uv) = \int vdu + \int udv$$

可知

$$uv = \int vdu + \int udv$$

最後可得

$$\int udv = uv - \int vdu$$

■

因此，上面的解題過程中

$$\int x^2d(sinx)=x^2sinx-\int sinxd(x^2)\;\;\;\;\;\;\;\;$$

相關文章

• x^3 cos2x 的積分