X^2 cos x 的積分 | 分部積分公式推導

Integral of x^2 cos x

求 $\int x^2\cos x\;dx$

解：

$$\int x^2\cos x\;dx=\int x^2 d(\sin x)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=x^2\sin x-\int \sin x\;d(x^2)$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=x^2\sin x - 2\int x\sin x\;dx$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=x^2\sin x+2\int x\;d(\cos x)$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=x^2\sin x+2\left (x\cos x-\int \cos x\;dx\right)$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=x^2\sin x+2x\cos x-2\int \cos x\;dx$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=x^2\sin x+2x\cos x-2\int d(\sin x)$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=x^2 \sin x+2x\cos x-2\sin x+C$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=(x^2-2)\sin x+2x\cos x+C$$

■

上面的解題過程中，有應用到不定積分的分部積分 (Integration by parts) 公式，其形式如下：

$\int u\;dv = uv - \int v\;du$

推導：

假設 $u(x)$ 與 $v(x)$ 都有連續的導函數，且 $u(x)v(x)$ 可微，則

$$(uv) ^{'}= u^{'}v+uv^{'}$$

對上式等號兩邊積分，可得

$$\int (uv)^{'}dx = \int (u^{'}v+uv^{'})dx$$

又根據積分的線性性質，上式可以改寫成

$$\int (uv)^{'}dx = \int u^{'}v\;dx + \int uv^{'}\;dx$$

即

$$\int d(uv) = \int v\;du + \int u\;dv$$

可知

$$uv = \int v\;du + \int u\;dv$$

最後可得

$$\int u\;dv = uv - \int v\;du$$

■

因此，上面的解題過程中

$$\int x^2d(\sin x)=x^2\sin x-\int \sin x\;d(x^2)\;\;\;\;\;\;\;\;$$

相關文章

• x^3 cos2x 的積分