OP-Amp 方波產生電路的數學分析

Mathematical Analysis of Square Wave Generator Using OP-Amp

如圖一所示，為一 OP-Amp 方波 (square wave) 產生電路。由於正回授的運算放大器，其輸出不是正飽和電壓 $+V_{sat}$，就是負飽和電壓 $-V_{sat}$。因此，在作 OPA 方波產生電路的數學分析前，必須先就一開始其輸出為 $+V_{sat}$ 或 $-V_{sat}$ 這兩種輸出情況來分別討論。

圖一    OPA 方波產生電路

A. 假設一開始電源打開瞬間，OPA 的 $v_o$ 為 $+V_{sat}$ 且 $v_c = 0$ 

A-I. 電容充電

如圖二所示，電容 C 會被充電。且 OPA 的 $V_+$ 為 $\beta V_{sat}$，其中的 $\beta = \frac{R_2}{R_1+R_2}$。

圖二   OPA 方波產生電路，電容被充電 

由歐姆定律：

$$i = \frac{V_{sat}-v_c}{R}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$

又

$$i =\frac{dv_c}{dt}$$

代入式子 (1)，可得

$$\frac{dv_c}{dt} = \frac{V_{sat}- v_c}{R}$$

即

$$\frac{dv_c}{V_{sat}-v_c} = \frac{dt}{RC}$$

$$\int_0^{v_c} \frac{dv_c}{V_{sat}-v_c}= \int_0^{t} \frac{dt}{RC}$$

令 $u = v_{sat} - v_c$，則上式可改寫成

$$\int_{V_{sat}}^{V_{sat}-v_c} \frac{-du}{u} = \int_0^{t}\frac{dt}{RC}$$

$$\ln \left (V_{sat}) - \ln (V_{sat} - v_c \right ) = \frac{t}{RC}$$

$$\ln \left (\frac{V_{sat}}{V_{sat} - v_c}\right ) = \frac{t}{RC}$$

$$\frac{V_{sat}}{V_{sat} - v_c} = e^{\frac{t}{RC}}$$

上式整理可得

$$v_c = V_{sat} (1 - e^{\frac{-t}{RC}})$$

又當 $v_c (t) > \beta V_{sat}$ 時，OPA 的 $v_o$ 會由 $+V_{sat}$ 轉態成 $-V_{sat}$，且設 $t = t_1+$ 時發生了該轉態，則為了找出 $t_1$ 可令

$$V_{sat} (1 - e^{\frac{-t_1}{RC}}) = \beta V_{sat}$$

即

$$t_1 = -RC\ln(1-\beta) = RC\ln (\frac{1}{1-\beta})$$

A-II. 電容放電

已知當 $v_c(t) > \beta V_{sat}$ 時，OPA 的 $v_o$ 會由 $+V_{sat}$ 轉態成 $-V_{sat}$，電容 C 會開始放電，如圖三所示。

圖三    OPA 方波產生電路，電容放電

根據歐姆定律可知：

$$i^{'} =\frac{v_c - (-V_{sat})}{R}$$

又已知

$$i^{'} =-C\frac{dv_c}{dt}$$

代入上式可得

$$\frac{dv_c}{v_c + V_{sat}}= - \frac{dt}{RC}$$

等式兩邊積分

$$\int_{\beta V_{sat}}^{v_c} \frac{dv_c}{v_c + V_{sat}} = - \int_0^t \frac{dt}{RC}$$

令 $u = v_c + V_{sat}$ 代入上式，可得

$$\int_{(1+\beta)V_{sat}}^{v_c + V_{sat}} \frac{du}{u} = -\frac{t}{RC}$$

$$\ln\left [\frac{v_c + V_{sat}}{(1+\beta)V_{sat}}\right ] = -\frac{t}{RC}$$

$$\frac{v_c + V_{sat}}{(1+\beta)V_{sat}} = e^{\frac{-t}{RC}}$$

最後可得

$$v_c = -V_{sat} + (1+\beta)V_{sat}e^{\frac{-t}{RC}}$$

又當 $v_c(t) < -\beta V_{sat}$ 時，OPA 的 $v_o$ 會由 $-V_{sat}$ 轉態成 $+V_{sat}$ ，且設 $t = t_2+$ 時發生了該轉態，為了找出 $t_2$ 可令

$$-V_{sat} + (1+ \beta ) V_{sat} e^{\frac{-t_2}{RC}} = - \beta V_{sat}$$

$$e^{\frac{-t_2}{RC}}= \frac{1-\beta}{1+\beta}$$

即

$$t_2 = RC\ln \left (\frac{1+ \beta}{1-\beta}\right )\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$

A-III. 電容充電

當 OPA 的 $v_o$ 在 $t = t_2+$ 時轉態成 $+V_{sat}$，電容會被充電。此時 OPA 的 $v_+$ 為 $\beta V_{sat}$，$v_c(t_2+) = - \beta V_{sat}$。

由歐姆定律：

$$i(t) = \frac{V_{sat}-v_c(t)}{R}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)$$

又

$$i = \frac{dv_c}{dt}$$

代入式子 (3)，可得

$$\frac{dv_c}{dt} = \frac{V_{sat} - v_c}{R}$$

即

$$\frac{dv_c}{V_{sat} - v_c} = \frac{dt}{RC}$$

$$\int_{-\beta V_{sat}}^{v_c} \frac{dv_c}{V_{sat} - v_c} = \int_0^t \frac{dt}{RC}$$

 令 $u = V_{sat} - v_c$，則上式可改寫成

$$\int_{(1+\beta )V_{sat}}^{V_{sat}-v_c} \frac{-du}{u} = \int_{0} ^{t} \frac{dt}{RC}$$

$$\ln \left [\frac{(1+\beta) V_{sat}}{V_{sat} - v_c}\right ] = \frac{t}{RC}$$

$$\frac{(1+\beta) V_{sat}}{V_{sat} - v_c} = e^{\frac{t}{RC}}$$

整理可得

$$v_c = V_{sat} - (1+\beta) V_{sat} e^{\frac{-t}{RC}}$$

又當 $v_c(t) > \beta V_{sat}$ 時，OPA 的 $v_o$ 會由 $+V_{sat}$ 轉態成 $-V_{sat}$，且設 $t = t_3+$ 時發生了該轉態，則為了找出 $t_3$ 可令

$$V_{sat} - (1+\beta) V_{sat} e^{\frac{-t_3}{RC}} = \beta V_{sat}$$

上式整理可得

$$t_3 = RC\ln\left ( \frac{1+\beta}{1-\beta}\right )\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(4)$$

A-IV. 電容放電

接下來，就從 A-II. 電容放電部分開始重複，且從 $t = t_1$ 開始 $v_c$ 與 $v_o$ 形成週期性波形，不再贅述。

$v_o$ 與 $v_c$ 波形如圖四所示，且由式子(2) 與 (4) 可知 $t_2 = t_3$。而 $v_o$ 波形的週期

$$T = t_2 + t_3\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$\;=2RC\ln \left( \frac{1+\beta}{1-\beta}\right)$$

$$\;\;\;\;\;=2RC\ln\left(1+\frac{2R_2}{R_1}\right)$$

$v_o$ 波形的頻率

$$f = \frac{1}{T}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$\;\;\;\;\;\;=\frac{1}{2RC\ln(1+\frac{2R_2}{R_1})}$$

又 $v_o$ 波形的工作週期 (Duty Cycle)

$$D. C. = \frac{t_3}{t_2+t_3}\times 100\%$$

$$= 50\%\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$    

因此，$v_o$ 的波形在 $t > t_1$ 時確定為方波。$v_o$ 與 $v_c$ 的波形如圖四所示。

圖四    $v_o$ 與 $v_c$ 在 $t = 0$ 時 $v_o = V_{sat}$ 的波形圖

B. 假設一開始電源打開瞬間，OPA 的 $v_o$ 為 $-V_{sat}$ 且 $v_c = 0$ 

B-I. 電容放電

圖五    OPA 方波產生電路電路，電容放電

根據歐姆定律可知：

$$i^{'} = \frac{v_c - (-V_{sat})}{R}$$

又已知

$$i^{'} = \frac {-dv_c}{dt}$$

代入上式可得

$$\frac{dv_c}{v_c + V_{sat}} = -\frac{dv_c}{dt}$$

$$\int_0^{v_c} \frac{dv_c}{v_c + V_{sat}} = -\int_0^{t} \frac{dt}{RC}$$

令 $u = v_c + V_{sat}$ 代入上式，可得

$$\int_{V_{sat}}^{v_c + V_{sat}} \frac{du}{u} = - \frac{t}{RC}$$

$$\ln \left(\frac{v_c + V_{sat}}{V_{sat}}\right ) = \frac{-t}{RC}$$

$$\frac{v_c + V_{sat}}{V_{sat}} = e^{\frac{-t}{RC}}$$

最後可得

$$v_c = -V_{sat}(1- e^{\frac{-t}{RC}})$$

又當 $v_c(t) < -\beta V_{sat}$ 時，OPA 的 $v_o$ 會由 $-V_{sat}$ 轉態成 $+V_{sat}$，且設 $t = t_1+$ 時發生了該轉態，則為了找出 $t_1$ 可令

$$-V_{sat}(1- e^{\frac{-t_1}{RC}}) = -\beta V_{sat}$$

$$e^{\frac{-t_1}{RC}} = 1- \beta$$

$$\frac{-t_1}{RC} = \ln (1 - \beta)$$

即

$$t_1 = -RC\ln (1- \beta) = RC \ln \left (\frac{1}{1-\beta}\right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (5)$$              

B-II. 電容充電

當OPA 的 $v_o$ 在 $t = t_1+$ 時轉態成 $+V_{sat}$，電容會被充電。此時 OPA 的 $V_+$ 為 $\beta V_{sat}$，$v_c(t_1+) = -\beta V_{sat}$，如圖六所示。

圖六       OPA 方波產生電路，電容被充電

此時同 A-III 電容充電的情況，可得

$$v_c = V_{sat} - (1 + \beta)V_{sat}e^{\frac{-t}{RC}}$$

又當 $v_c > \beta V_{sat}$ 時，OPA 的 $v_o$ 會由 $+V_{sat}$ 轉態成 $-V_{sat}$，且設 $t = t_2+$ 時發生了該轉態，則為了找出 $t = t_2$ 可令

$$V_{sat} - (1 + \beta)V_{sat}e^{\frac{-t_2}{RC}} = \beta V_{sat}$$

上式整理可得

$$t_2 = RC \ln \left( \frac{1 + \beta}{1 - \beta}\right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(6)$$

B-III. 電容放電

當OPA 的 $v_o$ 在 $t = t_2+$ 時轉態成 $-V_{sat}$，電容會放電。此時 OPA 的 $V_+$ 為 $-\beta V_{sat}$，$v_c(t_2+) = \beta V_{sat}$，如圖七所示。

圖七    OPA 方波產生電路，電容放電

此時同 A-II 電容放電的情況，可得

$$v_c = V_{sat} + (1 + \beta)V_{sat}e^{\frac{-t}{RC}}$$

又當 $v_c(t) < -\beta V_{sat}$ 時，OPA 的 $v_o$會由 $-V_{sat}$ 轉態成 $+V_{sat}$ ，且設 $t = t_3+$ 時發生了該轉態，則為了找出 $t = t_3$ 可令

$$V_{sat} + (1 + \beta)V_{sat}e^{\frac{-t_3}{RC}} = - \beta V_{sat}$$

最後可得

$$t_3 = RC \ln \left( \frac{1+\beta}{1-\beta}\right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(7)$$

B-IV. 電容放電

接下來，就從 B-II. 電容充電部分開始重複，且從 $t > t_1$ 開始 $v_c$ 與 $v_o$ 形成週期性波形，不再贅述。

$v_o$ 與 $v_c$ 的波形如圖八所示，由式子(6) 與 (7) 可知 $t_2 = t_3$。而 $v_o$ 波形的週期

$$T = t_2 + t_3 = 2RC \ln \left( 1+ \frac{2R_2}{R_1}\right)$$

$v_o$ 波形的頻率

$$f = \frac{1}{T}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$=\frac{1}{2RC\ln(1+\frac{2R_2}{R_1})}$$

又 $v_o$ 波形的工作週期 (Duty Cycle)

$$D. C. = \frac{t_3}{t_2+t_3}\times 100\%$$

$$= 50\%\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$      

 因此，$v_o$ 的波形在 $t > t_1$ 時為方波，與 A 部分都是一樣的。

 圖八      $v_o$ 與 $v_c$   在 $t = 0$ 時 $v_o = -V_{sat}$ 的波形圖

相關文章

• 三角波產生器的電路與數學分析