2+tan^2(x) 的積分
Integration of 2+tan^2(x) 求解 $\int (2+\tan^2 x)dx$ 解： $$\int (2+\tan^2 x)dx = \int \left[1+(1+\tan^2 x)\right ]dx\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;=\int \left[1+\sec^2 x\right]dx$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\int dx + \int d(\tan x)$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=x+\tan x+C\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; C \in R$$ 上面的解題過程中，有用到下列的不定積分的基本性質 $\int f(x)dx \pm g(x)dx= \int f(x)dx \pm \int g(x)dx$ 以及兩個關係式 $1+\tan^2 x = \sec^2 x$ 其來源是 $$\cos^2 x + \sin^2 x = 1$$ 將等號兩邊同除以 $\cos^2 x$， $$\frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x}=\frac{1}{\cos^2 x}$$ 即可得 $$1+\tan^2 x = \sec^2 x$$ $d(\tan x) = \sec^2 x\;dx$ 因為 $$d(\tan x) = d\left( \frac{\sin x}{\cos x}\right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$ $$\;\;=\left[\frac{\cos x\cos x-(-\sin x)\sin x}{\cos^2 x}\right]dx$$ $$=\left(\frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x}\right) dx\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$ $$=\left( \frac{1}{\cos^2 ...
