眞趣盎然集

餘弦定理 (Law of Cosines) 敘述如下： 三角形 $ABC$ 中，若 $\angle A$ 的對邊長度為 $a$，$\angle B$ 的對邊長度為 $b$，$\angle C$ 的對邊長度為 $c$，則 $a^2=b^2+c^2-2bc \cos \angle A$ $b^2=a^2+c^2-2ac \cos \angle B$ $c^2=a^2+b^2-2ab \cos \angle C$ 推導： 如圖一所示的三角形 $ABC$， 圖一   (a) $\angle C$ 為銳角時的三角形 $ABC$，  (b) $\angle C$ 為鈍角時的三角形 $ABC$ (1) 當 $\angle C$ 為銳角 (Acute Angle) 時： 如圖二所示，自頂點 $A$ 劃一條垂直於 $\overline {BC}$ 的線，垂足為 $D$，則  $\overline {CD}=b\cos \angle C$， $\overline {AD}=b\sin \angle C$，且可知 $\overline {BD}=a-b\cos \angle C$。 圖二    $\angle C$ 為銳角的三角形 $ABC$ 將直角三角形 $ABD$，應用 畢氏定理 (Pythagorean Theorem) 可得 $$c^2=(a-b\cos \angle C)^2+(b\sin \angle C)^2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;=a^2-2ab\cos \angle C+b^2\cos^2 \angle C+b^2 \sin^2 \angle C$$ $$=a^2-2ab\cos \angle C+b^2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$ (2) 當 $\angle C$ 為鈍角 (Obtuse Angle) 時： 如圖三所示，自頂點 $A$ 劃一條垂直於 $\overline {BC}$ 的延伸線，垂足為 $D$，則 $\overline {CD}=b\cos (\pi-\angle C)=-b\cos \angle C$，$\overline {AD}= b\sin (...

二維的 科西不等式 (Cauchy-Schwarz Inequality) 如下所述： 設 $a$、$b$ 與 $x$、$y$ 均為實數，則 $(a^2+b^2)(x^2+y^2) \ge (ax+by)^2$ 且當 $ay=bx$ 時，等號成立 推導一： $$(a^2+b^2)(x^2+y^2) =a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ 又已知 $$a^2y^2-2abxy+b^2x^2=(ay-bx)^2 \ge 0$$ 亦即 $$a^2y^2+b^2x^2 \ge 2abxy\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$ 且由上面的不等式可知，等號成立發生在 $(ay-bx)^2=0$，即 $ay=bx$ 時。 將式子 (2) 代入式子 (1)，即可得 $$(a^2+b^2)(x^2+y^2)  \ge a^2x^2+2abxy+b^2y^2=(ax+by)^2$$ 即 $$(a^2+b^2)(x^2+y^2)  \ge (ax+by)^2$$ 且等號成立發生在 $ay=bx$ 時。 推導二： 令 $\overrightarrow u = (a, b)$，$\overrightarrow v=(x, y)$，且 $\overrightarrow u\;$ 與 $\overrightarrow v\;$ 的夾角為 $\theta$，則 $$\overrightarrow u\; \cdot \; \overrightarrow v = ax+by$$ 且 $$|\;\overrightarrow u\;| =\sqrt{a^2+b^2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;|\;\overrightarrow v\;| =\sqrt{x^2+y^2}$$ 代入內積 (Inner Product) 的定義 $$\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v =|\;\overrightarrow u\;||\;\overrightarrow v\;|\cos \theta$$ 可得 $$ax+by=\sqrt{a^2+b^2}\;\sqrt{x^2+y^2}\...

  求解  $\int x^3 \cos 2x\;dx$  解： 令 $$I = \int x^3 \cos 2x\;dx$$  因為 $d(\sin 2x)=2\cos 2x\;dx$，即 $\cos 2x\;dx=\frac{1}{2}d(\sin 2x)$，代入 $I$ 可得 $$I= \frac{1}{2}\int x^3\;d(\sin 2x)$$ 利用不定積分的 分部積分 (Integration by Parts) 公式： $$\int u\;dv=uv-\int v\;du$$ 令 $u=x^3$、$v=\sin 2x$，則 $$I=\frac{1}{2}\left [x^3\sin 2x-\int \sin 2x\;d(x^3)\right ]\;\;\;\;\;$$ $$=\frac{1}{2}\left [x^3 \sin 2x-3\int x^2\sin 2x\;dx \right ]$$ 因為 $d(\cos 2x) = -2\sin 2x\;dx$，即 $\sin 2x\;dx = - \frac{1}{2}d(\cos 2x)$，代入 $I$ 可得 $$I=\frac{1}{2}\left [x^3\sin 2x+\frac{3}{2}\int x^2 \;d(\cos 2x) \right ]$$ 再用一次分部積分公式，令 $u=x^2$、$v=\cos 2x$，則 $$I=\frac{1}{2}\left [x^3\sin 2x+\frac{3}{2}x^2\;\cos 2x-\frac{3}{2}\int \cos 2x\;d(x^2) \right ]$$ $$\;\;\;\;\;=\frac{1}{2}\left [x^3\sin 2x+\frac{3}{2}x^2\cos 2x-\frac{3}{2}\int \cos 2x\;(2x\;dx) \right ]$$ 又 $d(\sin 2x) = 2\cos 2x\;dx$，所以上式可改寫成 $$I=\frac{1}{2}\left [ x^3 \sin 2x+\frac{3}{2}x^2 \cos 2x-\frac{3}{2}\int x\;d(\sin 2x) \right ]$$ 接著繼續再用一次分部積分公式，令 $u=x$、$...

  先前介紹的「 基本的交通號誌控制電路 」一文，並沒有紅燈倒數計時的功能，本文延續該電路探討如何將 紅燈倒數計時的功能 加入 。其完整的電路如圖一所示： 圖一   有紅燈倒數計時的基本的交通號誌控制電路 功能 一開始縱向的紅色 LED 亮，伴隨著從 4 秒開始的倒數計時顯示，且橫向的綠色 LED 同時跟著亮。當縱向的紅色 LED 倒數至 1 秒時，橫向的綠色 LED 熄滅，且橫向的黃色 LED 亮；當縱向的紅色 LED 倒數至 0 秒時 (不顯示)，縱向的紅色 LED 熄滅，轉而縱向的綠色 LED 亮，且橫向的紅色 LED 亮，伴隨著從 4 秒開始的倒數計時顯示。當橫向的紅色 LED 倒數至 1 秒時，縱向的綠色 LED 熄滅，縱向的的黃色 LED 亮；當橫向的紅色 LED 倒數至 0 秒時 (不顯示)，橫向的紅色 LED 熄滅，縱向的綠色 LED 亮，如此周而復始。其燈號動作時序圖如圖二所示。 圖二   燈號動作時序圖 電路設計 沒有紅燈倒數計時功能的 基本的交通號誌控制電路 ，電路如圖三所示，該部分的原理參見該文說明，這裡不再贅述。接下來，我們將只針對要另外加入的紅燈倒數計時部分的電路來作說明。 圖三   無紅燈倒數計時的基本的交通號誌控制電路 圖四    紅燈倒數計時顯示電路的 真值表 基本的交通號誌控制電路中的 3 位元模數 8 的同步上數計數電路的輸出 $(Q_C,\;Q_B,\;Q_A)$ ，是我們要加入的紅燈倒數計時顯示部分的輸入；而圖一中負責將 BCD 碼轉七段顯示碼的兩顆 IC 4511 各自的 BCD 碼輸入腳 $(Q_C^{'},\;Q_B^{'},\;Q_A^{'})$ 與 $(Q_C^{"},\;Q_B^{"},\;Q_A^{"})$ ，則分別是縱向與橫向的紅燈倒數計時輸出連接接腳，其真值表如圖四所示。 根據圖四的真值表，可畫出圖五至圖十的 卡諾圖 (Karnaugh Map)： 圖五    $Q_C\;'$ 的卡諾圖 圖六     $Q_B\;'$ 的卡諾圖 圖七    $Q_A\;'$ 的卡諾圖 圖八    $Q_C\;''$ 的卡諾圖 圖九   ...

科學記號 (Scientific Notation) 常被用來簡潔地表示極大或極小的數值以方便分析，其表示法為  $$a \times 10^n \;\;\; (1 \le |\;a\;|<10，n \;為整數 )$$ 例如一個大於 $1$ 的數： $673,000$，若以科學記號來表示，可寫成 $6.73 \times 10^5$，將其取對數，可得 $5+\log\;6.73$，其中 $5$ 為對數值整數的部分，$\log\;6.73$ 為對數值小數的部分。我們可以觀察到 $673,000$ 為 6 位數，剛好是其科學記號表示法中的指數 $5$ 加 $1$ 或是其對數值整數部分 (即 $5$) 加 $1$ 的結果；又一個小於 $1$ 的數：$0.00673$ 的科學記號為 $6.73 \times 10^{-3}$，對數值為 $-3+\log\;6.73$，我們也可以觀察到該數在小數點第 $3$ 位開始數字不為 $0$，剛好是其科學記號表示法中的指數 $-3$ 的絕對值或是其對數值整數部分的絕對值。 因此，若有一正數 $x$ 其科學記號為 $a \times 10^n\;(a\;為正數，\;n\;為整數\;)$，則 $$x=a \times 10^n$$ 上式兩邊取對數，可得 $$log\;x = log\;(a \times 10^n)=log\;a+log\;10^n=n+log\;a$$ 已知 $1\le a <10$，所以 $0 \le \log\;a <1$。上式中的 $n$ 為對數值的整數部分稱為 $\log\;x$ 的 首數  (Characteristic)，而 $\log\;a$ 為對數值小數的部分則稱之為 尾數  (Manttissa)。若 $n$ 為正整數，則 $x$ 的位數為 $n+1$；若 $n$ 為負整數，則 $x$ 在小數點以下第 $|\;n\;|$ 位開始數字不為 $0$。 從另一角度來看，令上式中的 $\log\;a=m$，則  $\log \;x=n+m$，其中的 $m$ 為尾數。 可知 $$x=10^{n+m}$$ 且 $$0 \le m \lt 1$$ 所以 $$n \le n+m \lt n+1$$ $$10^{n} \le 10^{n+m} \lt 10^{n+1...

  功能 一開始縱向的紅色 LED 亮，伴隨著從 120 秒開始的倒數計時 ( 倒數秒數為 3 位數時不顯示，倒數至 2 位數即 99 秒時才開始顯示 )，且橫向的綠色 LED 同時跟著亮。當縱向的紅色 LED 倒數至 3 秒時，橫向的綠色 LED 熄滅，且橫向的黃色 LED 亮；當縱向的紅色 LED 倒數至 0 秒時 ( 不顯示 )，縱向的紅色 LED 熄滅，轉而縱向的綠色 LED 亮，且橫向的紅色 LED 亮，伴隨著從 120 秒開始的倒數計時( 一樣倒數秒數為 3 位數時不顯示，倒數至 2 位數即 99 秒時才開始顯示 )。當橫向的紅色 LED 倒數至 3 秒時，縱向的綠色 LED 熄滅，縱向的的黃色 LED 亮；當橫向的紅色 LED 倒數至 0 秒時 ( 不顯示 )，橫向的紅色 LED 熄滅，縱向的綠色 LED 亮，如此周而復始。 電路圖 圖一   有紅燈倒數計時的紅綠燈控制電路圖