眞趣盎然集

  Current Analysis of A Series RLC Circuit Driven by A Sinusoidal Voltage Input 如圖一所示，為一正弦電動勢的 RLC 串聯電路。 圖一    正弦電動勢 RLC 串聯電路 假設迴路的電流為 $i$，則電阻 $R$ 的電壓降為 $Ri$，電感 $L$ 的電壓降為 $L\frac{di}{dt}$，電容 $C$ 的電壓降為 $\frac{1}{C}\int i\;dt$。根據 $KVL$，可知 $$Ri+L\frac{di}{dt}+\frac{1}{C}\int i\;dt=E\;\sin \omega t$$ 上式等號兩邊對 $t$ 微分，可得 $$R\frac{di}{dt}+L\frac{d^2i}{dt^2}+\frac{i}{C}=E\omega\cos \omega t$$ 整理得 $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{d^2i}{dt^2}+\frac{R}{L}\frac{di}{dt}+\frac{i}{LC}=\frac {E}{L}\omega \cos \omega t\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ 為一 線性二階非齊次微分方程 (Second-order Linear Non-homogeneous Differential Equation)。其通解 (General Solution) 的形式為 $i_h+i_P$，其中的 $i_h$ 為 齊次解 (Homogeneous Solution)，而 $i_p$ 則是 特殊解 (Particular Solution)。 求齊次解 $i_h$ 要找出式子 (1) 的齊次解，即是找出下面式子的的通解。 $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{d^2i}{dt^2}+\frac{R}{L}\frac{di}{dt}+\frac{i}{LC}=0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$ 而 (2) 的 特徵方程式  (Characteristic Equati...

Current Analysis of A Series RC Circuit Driven by A Sinusoidal Voltage Input 如圖一所示，為一正弦電動勢 $RC$ 串聯電路，其電流方程式 $i(t)$ 的推導，是先應用 克希荷夫電壓定律 $(KVL)$ 後，將出現的 線性一階微分方程 (Linear First-Order Differential Equation) 進行求解所得到的。其推導的過程說明如下： 圖ㄧ    正弦電動勢 RC 串聯電路 設迴路電流為 $i$，則電阻 $R$ 的電壓降 $v_R=Ri$，且電容 $C$ 的電壓降 $v_C=\frac{1}{C}\int i\;dt$。 因此，根據 $KVL$，可知 $$Ri+\frac{1}{C}\int i\;dt=E\sin \omega t$$ 上式兩邊對 $t$ 微分，可得 $$R\frac{di}{dt}+\frac{i}{C}=E\;\omega \cos \omega t$$ 上式兩邊同除 $R$，可得如下的 非齊次 的 (nonhomogeneous) 線性一階微分方程  ： $$\frac {di}{dt}+\frac{i}{RC}=\frac{E\;\omega}{R}\cos  \omega t\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ 式子 (1) 的積分因子 (Integrating Factor) 為 $$F(t)=e^{h(t)}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;其中\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;h(t)=\int \frac{1}{RC} dt$$ 將式子 (1) 兩邊同乘 $F(t)$，可得 $$e^{\frac{t}{RC}}\frac{di}{dt}+\frac{e^{\frac{t}{RC}}}{RC} i=e^{\frac{t}{RC}}\frac {E\;\omega}{R}\cos  \omega t $$ 即 $$\frac{d(e^{\frac{t}{RC}}i)}{dt}=e^{\frac{t}{RC}}\frac {E\;\omega}{R}\cos \omega...

Current Analysis of A Series RL Circuit  Driven by A Sinusoidal Voltage Input 如圖一所示，為一正弦電動勢 RL 串聯電路，其電流方程式 $i(t)$ 的推導，是先應用 克希荷夫電壓定律 $(KVL)$ 後，將出現的 線性一階微分方程 (Linear First-Order Differential Equation) 進行求解所得到的。其推導的過程說明如下： 圖一    正弦輸入的 RL 串聯電路 設迴路電流為 $i$，則電阻 $R$ 的電壓降 $v_R=Ri$，且電感 $L$ 的電壓降 $v_L=L \frac{di}{dt}$。 因此，根據 $KVL$，可知 $$L\frac{di}{dt}+Ri=E\sin \omega t$$ 上式兩邊同除 $L$，可得如下的 非齊次 的 (nonhomogeneous)  線性一階微分方程 ： $$\frac {di}{dt}+\frac{R}{L}i=\frac{E}{L}\sin  \omega t\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ 令 $\frac {R}{L}=\alpha $，則式子 (1) 的積分因子 (Integrating Factor) 為 $$F(t)=e^{h(t)}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;其中\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;h(t)=\int \alpha dt$$ 將式子 (1) 兩邊同乘 $F(t)$，可得 $$e^{\alpha t}\frac{di}{dt}+e^{\alpha t}\alpha \; i=e^{\alpha t}\frac {E}{L}\sin \omega t $$ $$\frac{d(e^{\alpha t}i)}{dt}=e^{\alpha t}\frac {E}{L}\sin \omega t $$ 即 $$e^{\alpha t}i=\frac{E}{L}\int e^{\alpha t}\sin \omega t\;dt$$ 整理得 $$i=e^{-\alpha t}\frac{E}{L}\int e^{\a...