正弦電動勢 RC 串聯電路的電流分析

Current Analysis of A Series RC Circuit Driven by A Sinusoidal Voltage Input

如圖一所示，為一正弦電動勢 RC 串聯電路。

圖ㄧ  正弦電動勢 RC 串聯電路

設迴路電流為 $i$，則電阻 $R$ 的電壓降 $v_R=Ri$，且電容 $C$ 的電壓降 $v_C=\frac{1}{C}\int i\;dt$。

因此，根據 $KVL$，可知
$$Ri+\frac{1}{C}\int i\;dt=E\;sin\;\omega t$$

上式兩邊對 $t$ 微分，可得

$$R\frac{di}{dt}+\frac{i}{C}=E\;\omega\;cos\;\omega t$$

上式兩邊同除 $R$，可得如下的非齊次的 (nonhomogeneous) 線性一階微分方程 (Linear First-Order Differential Equation)：

$$\frac {di}{dt}+\frac{i}{RC}=\frac{E\;\omega}{R}cos\; \omega t\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$

式子 (1) 的積分因子 (Integrating Factor) 為

$$F(t)=e^{h(t)}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;其中\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;h(t)=\int \frac{1}{RC} dt$$

將式子 (1) 兩邊同乘 $F(t)$，可得

$$e^{\frac{t}{RC}}\frac{di}{dt}+\frac{e^{\frac{t}{RC}}}{RC} i=e^{\frac{t}{RC}}\frac {E\;\omega}{R}cos \;\omega t $$

$$\frac{d(e^{\frac{t}{RC}}i)}{dt}=e^{\frac{t}{RC}}\frac {E\;\omega}{R}cos\;\omega t $$

上式兩邊積分，

$$e^{\frac{t}{RC}}i=\frac{E\;\omega}{R}\int e^{\frac{t}{RC}}cos\;\omega t\;dt$$

整理得

$$i=e^{-\frac{t}{RC}}\frac{E\;\omega}{R}\int e^{\frac{t}{RC}}cos\;\omega t\;dt\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$

利用分部積分 (Integration by Parts) 公式 $\int m\;dn=mn-\int n\;dm$，式子 (2) 中的

$$\int e^{\frac{t}{RC}}cos\;\omega t\;dt = RC \int sin \;\omega t\;d(e^{\frac {t}{RC} })\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$=RC \left [ cos\;\omega t\;e^{\frac{t}{RC}}-\int e^{\frac{t}{RC}}d(cos\;\omega t)\right ]\;\;\;\;\;\;$$

$$=RCe^{\frac{t}{RC}}cos\;\omega t\;+RC\omega \int e^{\frac{t}{RC}}sin\;\omega t\;dt\;\;\;$$

$$\;\;=RCe^{\frac{t}{RC}}cos\;\omega t\;+\omega(RC)^2 \int sin\;\omega t\;d(e^{\frac{t}{RC}})$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=RCe^{\frac{t}{RC}}cos\;\omega t\;+\omega(RC)^2 sin\;\omega t\; e^{\frac{t}{RC}}-\omega(RC)^2 \int e^{\frac{t}{RC}}d(sin\;\omega t)$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=RCe^{\frac{t}{RC}}cos\;\omega t\;+\omega(RC)^2 sin\;\omega t \;e^{\frac{t}{RC}}-(\omega RC  )^2\int e^{\frac{t}{RC}}cos\;\omega \;dt$$

整理得

$$\left [1+(\omega RC)^2 \right] \int e^{\frac{t}{RC}}cos\;\omega t\;dt =RC e^{\frac{t}{RC}}(cos\;\omega t+\omega RC\;sin\;\omega t) +K\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(K\;為常數)$$

即

$$\int e^{\frac{t}{RC}}cos\;\omega t\;dt =\frac{RC}{1+(\omega RC)^2}e^{\frac{t}{RC}}(cos\;\omega t+\omega RC\;sin\;\omega t)+\frac{K}{1+(\omega RC)^2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{RC}{1+(\omega RC)^2}e^{\frac{t}{RC}}(cos\;\omega t+\omega RC\;sin\;\omega t)+C\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(C\;為常數)$$

將上式代入式子 (2)，可得

$$i=\frac{CE\omega}{1+(\omega RC)^2}(cos\;\omega t+\omega RC\;sin\;\omega t)+Ce^{-\frac{t}{RC}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$=\frac{CE\omega}{1+(\omega RC)^2}\sqrt{1+(\omega RC)^2}\left ( \frac{1}{\sqrt{1+(\omega RC)^2}}cos\;\omega t+\frac{\omega RC}{\sqrt{1+(\omega RC)^2}}sin\;\omega t \right )+Ce^{-\frac{t}{RC}}$$

如圖二所示，令 $sin\;\theta =\frac{1}{\sqrt{1+(\omega RC)^2}}$，$cos\;\theta =\frac{\omega RC}{\sqrt{1+(\omega RC)^2}}$，則上式可改寫成

$$i=\frac{CE \omega}{\sqrt {1+(\omega RC)^2}}\left ( cos\;\omega t\;sin\;\theta+sin\;\omega t\;cos\;\theta \right )+Ce^{-(\frac{R}{L})t}\;\;$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{CE \omega}{\sqrt {1+(\omega RC)^2}}sin(\omega t+\theta)+Ce^{-(\frac{R}{L})t}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\theta=arc\;tan\;\frac{1}{\omega RC}$$

圖二  $sin\;\theta =\frac{1}{\sqrt{1+(\omega RC)^2}}$，$cos\;\theta =\frac{\omega RC}{\sqrt{1+(\omega RC)^2}}$ 的直角三角形

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