以標準的三角公式與相量將 $Acos\omega t+Bsin\omega t $ 簡化成單一餘弦函數

 

$Acos\omega t+Bsin\omega t$ 可簡化成單一的餘弦函數，其簡化後的結果如下所示：

 $Acos\omega t+Bsin\omega t = \sqrt{A^2+B^2}\;cos(\omega t-tan^{-1}\frac{B}{A})$

接下來我們將分別以標準的三角公式以及相量 (phasor) 來推導此公式。

以標準的三角公式推導

$Acos\omega t+Bsin\omega t $ 可改寫成如下的式子：

 

$Acos\omega t+Bsin\omega t =\sqrt{A^2+B^2}\;(\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}\;cos\omega t+\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}\;sin\omega t)$               (1)

又已知標準的三角公式，

$cosx\;cosy+sinx\;siny = cos(x-y)$

因此，如圖一所示，令

$cos\theta = \frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}$

且

$sin\theta = \frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}$

則

$tan\theta = \frac{B}{A}$

圖一    鄰邊長度為 A，對邊長度為 B 的直角三角形

所以，式子 (1) 可進一步改寫成

$Acos\omega t+Bsin\omega t = \sqrt{A^2+B^2}\;(cos\omega t \;cos\theta + sin\omega t\; sin\theta)$

        $= \sqrt{A^2+B^2}\;cos(\omega t-\theta)\;$

其中的 $\theta = tan^{-1}\frac{B}{A}$。

以相量推導

由尤拉公式

$$e^{iz}=cosz+isinz$$

可知

$$cosz = Re \{e^{iz}\}$$

其中的 $Re$ 代表實部之意思。

因此，

$$Acos\omega t = Re \{Ae^{i\omega t}\}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$\;\;\;\;\;\;\;=Re \{Ae^{i0^{\circ}}e^{i\omega t}\}$$

$$\;\;=Re \{\bar A e^{i\omega t}\}$$

其中相量 $\bar A = Ae^{i0^{\circ}}$。

而

$$Bsin\omega t = Bcos(\omega t-90^{\circ})\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$\;\;\;=Re \{Be^{-i90^{\circ}}e^{i\omega t}\}$$

$$=Re\{\bar B e^{i\omega t}\}\;\;\;\;\;$$

其中相量 $\bar B = Be^{-i90^{\circ}}$。

亦即 $Acos\omega t+Bsin\omega t$ 以其對應的相量運算可表示成

$$\bar A+\bar B = Ae^{i0^{\circ}}+Be^{i^{90^{\circ}}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=A(cos0^{\circ}+isin0^{\circ})+B(cos90^{\circ}-isin90^{\circ})$$

$$=A-iB\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$=\sqrt{A^2+B^2}e^{-i\theta}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

其中 $\theta = tan^{-1}\frac{B}{A}$。

所以，

$$Acos\omega t+Bsin\omega t = Re \{\sqrt{A^2+B^2}e^{-i\theta}e^{i\omega t}\}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$\;\;\;=Re \{\sqrt{A^2+B^2}e^{i(\omega t - \theta)}\}$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=Re\{\sqrt{A^2+B^2}[cos(\omega t-\theta)+isin(\omega t - \theta)]\}$$

$$\;\;\;\;=\sqrt{A^2+B^2}\;cos(\omega t-\theta)$$

應用範例：$sin x + \sqrt 3 cos x$ 的最大值為何？

解：

$$ \sqrt 3 \;cos x + sin x  = \sqrt {(\sqrt 3)^2 + 1^2}\;cos (x - tan^{-1}\frac{1}{\sqrt 3})$$

$$=2cos(x-\frac{\pi}{6})\;\;\;\;\;$$

又

$$-1\le cos(x-\frac{\pi}{6}) \le 1$$

$$-2\le 2cos(x-\frac{\pi}{6}) \le 2$$

因此，最大值為 $2$。