以標準的三角公式與相量將 A cos wt + B sin wt 簡化成單一餘弦函數 | 正餘弦函數疊合的方法

 

$A\;cos\;\omega t+B\;sin\;\omega t$ 可簡化成單一的餘弦函數，此方法稱為正餘弦函數疊合 (Superposition of Sine and Cosine Functions)，其簡化後的結果如下所示：

 $A\;cos\;\omega t+B\;sin\;\omega t = \sqrt{A^2+B^2}\;cos(\omega t-tan^{-1}\frac{B}{A})$

接下來我們將分別以標準的三角公式以及相量 (phasor) 來推導此公式。

以標準的三角公式推導

$A\;cos\;\omega t+B\;sin\;\omega t $ 可改寫成如下的式子：

$$A\;cos\;\omega t+B\;sin\;\omega t =\sqrt{A^2+B^2}\;(\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}\;cos\;\omega t+\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}\;sin\;\omega t)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$

又已知標準的三角公式，

$$cos\;x\;cos\;y+sin\;x\;sin\;y = cos(x-y)$$

因此，如圖一所示，令

$$cos\;\theta = \frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

且

$$sin\;\theta = \frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

則

$$tan\;\theta = \frac{B}{A}$$

圖一    鄰邊長度為 A，對邊長度為 B 的直角三角形

所以，式子 (1) 可進一步改寫成

$$A\;cos\;\omega t+B\;sin\;\omega t = \sqrt{A^2+B^2}\;(cos\;\omega t \;cos\;\theta + sin\;\omega t\; sin\;\theta)\;\;\;\;\;\;$$

$$= \sqrt{A^2+B^2}\;cos(\omega t-\theta)\;$$

其中的 $\theta = tan^{-1}\frac{B}{A}$。

以相量 (Phasor) 推導

由尤拉公式

$$e^{iz}=cos\;z+i\;sin\;z$$

可知

$$cos\;z = Re \{e^{iz}\}$$

其中的 $Re$ 代表實部之意思。

因此，

$$A\;cos\;\omega t = Re\left  \{Ae^{i\omega t}\right \}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$\;\;\;\;\;\;\;=Re \left \{Ae^{i0^{\circ}}e^{i\omega t}\right \}$$

$$\;\;=Re\left  \{\overline A e^{i\omega t}\right \}$$

其中相量 $\overline A = Ae^{i0^{\circ}}$。

而

$$B\;sin\;\omega t = B\;cos(\omega t-90^{\circ})\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$\;\;\;\;=Re \left \{Be^{-i90^{\circ}}e^{i\omega t}\right \}$$

$$=Re\left \{\overline B e^{i\omega t}\right \}\;\;\;\;$$

其中相量 $\overline B = Be^{-i90^{\circ}}$。

亦即 $A\;cos\;\omega t+B\;sin\;\omega t$ 以其對應的相量運算可表示成

$$\overline A+\overline B = Ae^{i0^{\circ}}+Be^{i^{90^{\circ}}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=A(cos\;0^{\circ}+i\;sin\;0^{\circ})+B(cos\;90^{\circ}-i\;sin\;90^{\circ})$$

$$=A-iB\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$=\sqrt{A^2+B^2}\;e^{-i\theta}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

其中 $\theta = tan^{-1}\frac{B}{A}$。

所以，

$$A\;cos\;\omega t+B\;sin\;\omega t = Re \left \{\sqrt{A^2+B^2}\;e^{-i\theta}e^{i\omega t}\right \}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$\;\;\;=Re \left \{\sqrt{A^2+B^2}\;e^{i(\omega t - \theta)}\right \}$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=Re\left \{\sqrt{A^2+B^2}\;\left [cos(\omega t-\theta)+i\;sin(\omega t - \theta)\right ] \right \}$$

$$\;=\sqrt{A^2+B^2}\;cos(\omega t-\theta)$$

應用範例：$sin\; x + \sqrt 3 \;cos\; x$ 的最大值為何？

解：

〔方法一〕利用上述的正餘弦函數疊合的方法

$$ \sqrt 3 \;cos\; x + sin \;x  = \sqrt {(\sqrt 3)^2 + 1^2}\;cos (x - tan^{-1}\frac{1}{\sqrt 3})\;\;$$

$$=2\;cos(x-\frac{\pi}{6})\;\;\;\;\;$$

又

$$-1\le cos(x-\frac{\pi}{6}) \le 1$$

$$-2\le 2\;cos(x-\frac{\pi}{6}) \le 2$$

因此，$sin\; x + \sqrt 3 \;cos\; x$ 的最大值為 $2$。

〔方法二〕利用柯西不等式 (Cauchy's Inequality)：

當 $a$，$b$，$x$ 以及 $y$ 均為實數，則

$$(a^2+b^2)(x^2+y^2)\ge (ax+by)^2$$

所以

$$[1^2+(\sqrt 3)^2][sin^2\;x+cos^2x] \ge ( sin\; x + \sqrt 3 \;cos\; x)^2$$

因為 $sin^2\;x+cos^2x=1$，故

$$4 \ge ( sin\; x + \sqrt 3 \;cos\; x)^2$$

即

$$-2\le sin\; x + \sqrt 3 \;cos\; x \le 2$$

因此，$sin\; x + \sqrt 3 \;cos\; x$ 的最大值為 $2$。

相關文章

• 二維柯西不等式推導