二維柯西不等式推導

二維的科西不等式 (Cauchy-Schwarz Inequality) 如下所述：

設 $a$、$b$ 與 $x$、$y$ 均為實數，則

$(a^2+b^2)(x^2+y^2) \ge (ax+by)^2$

且當 $ay=bx$ 時，等號成立

推導一：

$$(a^2+b^2)(x^2+y^2) =a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$

又已知

$$a^2y^2-2abxy+b^2x^2=(ay-bx)^2 \ge 0$$

亦即

$$a^2y^2+b^2x^2 \ge 2abxy\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$

且由上面的不等式可知，等號成立發生在 $(ay-bx)^2=0$，即 $ay=bx$ 時。

將式子 (2) 代入式子 (1)，即可得

$$(a^2+b^2)(x^2+y^2)  \ge a^2x^2+2abxy+b^2y^2=(ax+by)^2$$

即

$$(a^2+b^2)(x^2+y^2)  \ge (ax+by)^2$$

且等號成立發生在 $ay=bx$ 時。

推導二：

令 $\overrightarrow u = (a, b)$，$\overrightarrow v=(x, y)$，且 $\overrightarrow u\;$ 與 $\overrightarrow v\;$ 的夾角為 $\theta$，則

$$\overrightarrow u\; \cdot \; \overrightarrow v = ax+by$$

且

$$|\;\overrightarrow u\;| =\sqrt{a^2+b^2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;|\;\overrightarrow v\;| =\sqrt{x^2+y^2}$$

代入內積的定義

$$\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v =|\;\overrightarrow u\;||\;\overrightarrow v\;|\;cos\theta$$

可得

$$ax+by=\sqrt{a^2+b^2}\;\sqrt{x^2+y^2}\;cos\theta$$

上式兩邊平方，可得

$$(ax+by)^2=(a^2+b^2)(x^2+y^2)\;cos^2\theta$$

即

$$cos^2 \theta =\frac{(ax+by)^2}{(a^2+b^2)(x^2+y^2)}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)$$

已知

$$ -1 \le cos\theta \le 1$$

則

$$\;\;\;\;\;\;\;\;cos^2 \theta \le 1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(4)$$

將式子 (3) 代入式子 (4)，可得

$$ \frac{(ax+by)^2}{(a^2+b^2)(x^2+y^2)} \le 1$$

即推導出

$$(a^2+b^2)(x^2+y^2)  \ge (ax+by)^2$$

而由式子 (4) 可知：等號成立發生在 $cos^2 \theta = 1$，或 $cos \theta = \pm \;1$ 時。換言之，即 $\;\overrightarrow u\;$ 與 $\;\overrightarrow v\;$  平行 ( 方向相同或方向相反 ) 時。因此，等號成立時，$\frac{a}{x}=\frac{b}{y}$，或 $ay=bx$。 

應用範例：若已知 $x$、$y$ 均為實數，且 $3x+4y=10$，則 $x^2+y^2$ 的最小值為多少？

解法一：

應用柯西不等式：

$$(a^2+b^2)(x^2+y^2)  \ge (ax+by)^2$$

令 $a=3$、$b=4$ 代入，可得

$$(3^2+4^2)(x^2+y^2) \ge (3x+4y)^2=10^2$$

即

$$ x^2+y^2 \ge 4$$

故 $x^2+y^2$ 的最小值為 $4$。

解法二：

$$3x+4y=10$$

所以，

$$x=\frac{10-4y}{3}$$

代入 $x^2+y^2$ 可得

$$x^2+y^2=\frac{(10-4y)^2}{9}+y^2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$=\frac{25y^2-80y+100}{9}$$

$$\;\;=\frac{25}{9}\left [ y^2-\frac{16}{5}y+4 \right ] $$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{25}{9}\left [ y^2-\frac{16}{5}y+\frac{64}{25}+4-\frac{64}{25}\right ]$$

$$\;\;\;\;=\frac {25}{9}\left [(y-\frac{8}{5})^2+\frac{36}{25}\right ]$$

$$=\frac{25}{9}(y-\frac{8}{5})^2+4\;\;\;$$

亦即 $x^2+y^2$ 的最小值為 $4$。

從上述的兩種不同解法可清楚看出：解此類型題目，應用柯西不等式的解法一，相較於解法二的配方法簡潔快速的多。由此，也可看出柯西不等式威力強大之處。