以畢式定理推導餘弦定理

餘弦定理 (Law of Cosines) 敘述如下：

三角形 $ABC$ 中，若 $\angle A$ 的對邊長度為 $a$，$\angle B$ 的對邊長度為 $b$，$\angle C$ 的對邊長度為 $c$，則

$a^2=b^2+c^2-2bc \cos \angle A$

$b^2=a^2+c^2-2ac \cos \angle B$

$c^2=a^2+b^2-2ab \cos \angle C$

推導：

如圖一所示的三角形 $ABC$，

圖一  (a) $\angle C$ 為銳角時的三角形 $ABC$， (b) $\angle C$ 為鈍角時的三角形 $ABC$

(1) 當 $\angle C$ 為銳角 (Acute Angle) 時：

如圖二所示，自頂點 $A$ 劃一條垂直於 $\overline {BC}$ 的線，垂足為 $D$，則  $\overline {CD}=b\cos \angle C$， $\overline {AD}=b\sin \angle C$，且可知 $\overline {BD}=a-b\cos \angle C$。

圖二  $\angle C$ 為銳角的三角形 $ABC$

將直角三角形 $ABD$，應用畢氏定理 (Pythagorean Theorem) 可得

$$c^2=(a-b\cos \angle C)^2+(b\sin \angle C)^2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;=a^2-2ab\cos \angle C+b^2\cos^2 \angle C+b^2 \sin^2 \angle C$$

$$=a^2-2ab\cos \angle C+b^2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

(2) 當 $\angle C$ 為鈍角 (Obtuse Angle) 時：

如圖三所示，自頂點 $A$ 劃一條垂直於 $\overline {BC}$ 的延伸線，垂足為 $D$，則 $\overline {CD}=b\cos (\pi-\angle C)=-b\cos \angle C$，$\overline {AD}= b\sin (\pi-\angle C)= b\sin \angle C$。

圖三    $\angle C$ 為鈍角的三角形 $ABC$

將直角三角形 $ABD$，應用畢氏定理可得

$$c^2=(a-b\cos \angle C)^2+(b\sin \angle C)^2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;=a^2-2ab\cos \angle C+b^2\cos^2 \angle C+b^2\sin^2 \angle C$$

$$\;\;=a^2-2ab\cos \angle C+b^2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

同理可推導出

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos  \angle A$$

以及

$$b^2=a^2+c^2-2ac\cos  \angle B$$

應用範例：已知一三角形 $ABC$，$\angle {B}=\frac{\pi}{3}$，$\overline {AB}=5$、$\overline {BC}=7$，則 $\overline {AC}\;$之值為何？

解：

根據餘弦定理公式

$$b^2=a^2+c^2-2ac\cos \angle B$$

即

$$b^2=7^2+5^2-2(7)(5)\cos (\frac{\pi}{3})=39$$

所以，

$$\overline {AC}=b=\sqrt{39}$$