眞趣盎然集

二維的 科西不等式 (Cauchy-Schwarz Inequality) 如下所述： 設 $a$、$b$ 與 $x$、$y$ 均為實數，則 $(a^2+b^2)(x^2+y^2) \ge (ax+by)^2$ 且當 $ay=bx$ 時，等號成立 推導一： $$(a^2+b^2)(x^2+y^2) =a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ 又已知 $$a^2y^2-2abxy+b^2x^2=(ay-bx)^2 \ge 0$$ 亦即 $$a^2y^2+b^2x^2 \ge 2abxy\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$ 且由上面的不等式可知，等號成立發生在 $(ay-bx)^2=0$，即 $ay=bx$ 時。 將式子 (2) 代入式子 (1)，即可得 $$(a^2+b^2)(x^2+y^2)  \ge a^2x^2+2abxy+b^2y^2=(ax+by)^2$$ 即 $$(a^2+b^2)(x^2+y^2)  \ge (ax+by)^2$$ 且等號成立發生在 $ay=bx$ 時。 推導二： 令 $\overrightarrow u = (a, b)$，$\overrightarrow v=(x, y)$，且 $\overrightarrow u\;$ 與 $\overrightarrow v\;$ 的夾角為 $\theta$，則 $$\overrightarrow u\; \cdot \; \overrightarrow v = ax+by$$ 且 $$|\;\overrightarrow u\;| =\sqrt{a^2+b^2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;|\;\overrightarrow v\;| =\sqrt{x^2+y^2}$$ 代入內積 (Inner Product) 的定義 $$\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v =|\;\overrightarrow u\;||\;\overrightarrow v\;|\cos \theta$$ 可得 $$ax+by=\sqrt{a^2+b^2}\;\sqrt{x^2+y^2}\...