眞趣盎然集

Basic Trigonometric Functions  三角函數是屬於超越函數 (Transcendental Function) 的一種，用來描述直角三角形中的角與其邊長的比例關係，在物理、數學、工程、以及測量等領域上均扮有廣泛且重要的角色。而三角函數由最基本的函數為正弦函數 (Sine Function，簡寫為 $\sin$) 、餘弦函數 (Cosine Function，簡寫為 $\cos$) 與正切函數 (Tangent Function，簡寫為 $\tan$) ，以及三者的倒數：餘割函數 (Cosecant Function，簡寫為 $\csc$)、正割函數 (Secant Function，簡寫為 $\sec$) 與餘切函數 (Cotangent Function，簡寫為 $\cot$) 所組成。其中正弦函數與餘弦函數更是常用來描述自然界中許多週期性的現象，是基本但不可或缺的重要分析工具。 正弦與餘弦函數 如圖一至圖四所示，若有一單位圓 (Unit Circle)，將其 $x$ 軸正向 長度為 1 的半徑線段 $\overline {OP^{'}}$，以原點 $O$ 為支點，逆時針旋轉整個半徑線段任意 $\theta$ 角，使其右端從 $P^{'}$ 移動至 $P$ 點。若定義逆時針旋轉的角度定義為正的角度，順時針旋轉的角度為負的角度時，則此 $\theta$ 稱之為 有向角 (Directed Angle)，而 $\overline {OP^{'}}$ 稱為該有向角 $\theta$ 的 始邊 (Initial Side)，$\overline {OP}$ 則稱為該有向角的 終邊 (Terminal Side)。此外，上述的有向角 $\theta$ 的始邊，若與 $x$ 軸正向重合，此有向角又可稱為 標準位置角 (Angle in Standard Position)。在此情況下，$P$ 點的 $x$ 座標記作 $\cos\theta$， $y$ 座標記作 $\sin\theta$，前者稱為餘弦函數，後者則稱為正弦函數。 若 $\theta$ 以弳度 (Radian) 為單位，如圖一所示， $0 \lt \theta \lt \frac{\pi}{2}$，可知有向角的 $\theta$ 的終邊落在第一象限，意即 ...

Working Principle and Frequency Derivation of a TTL Astable Multivibrator 如圖一所示，為一 TTL NAND 閘所組成的無穩態多諧振盪器。要了解其動作原理以及推導其輸出振盪頻率之前，首先必須先認識 TTL NAND 閘的內部電路結構，才能掌握分析上的必要關鍵點。以下就分別說明其動作原理以及輸出振盪頻率的推導： 圖一    TTL NAND 閘所組成的無穩態多諧振盪器 動作原理 首先如圖二所示，為 TTL NAND 閘的內部電路，分析該電路可知：當輸入端 $A$ 與 $B$ 浮接時，輸出 $F$ 為邏輯 $0$ 即 $V(0)$〔這就是為什麼 TTL NAND 閘的輸入接腳不可任意浮接，會被視為邏輯 $1$ 輸入的原因〕，且此時浮接輸入端 $A$ 與 $B$ 存在有電壓，此電壓稱為轉態電壓 $V_t$，其值約為 1.1 V~1.4 V。若將 $A$ 與 $B$ 端短接，且輸入電壓 $V_i \ge V_t$，則輸出 $F$ 為 $V(0)$；反之，若輸入電壓 $V_i \lt V_t$，則輸出 $F$ 為為邏輯 $1$ 即 $V(1)$。 圖二    TTL NAND 閘的內部電路 回到圖一的電路，假設 $R_1=R_2=R$，$C_1=C_2=C$，且一開始左邊的 NAND 閘反應速度比右邊的快，故電源接上瞬間，$V_A=V_t$，導致 $V_B=V(0)$。假設 $V(0)$ 對應的電壓為 $V_{OL}$，此瞬間的電壓變化會通過電容 $C_2$ 造成 $V_C=V(0)$，進而使得 $V_D=V(1)$ 。設 $V(1)$ 對應的電壓為 $V_{OH}$，則 $V_D$ 瞬間出現的電壓 $V_{OH}$ 也會通過電容 $C_1$ 累加該電壓給 $V_A$，使得 $V_A=V_t+V_{OH}$ 之外，$D$ 端還會開始對 $C$ 端充電，即 $A$ 端開始放電，而 $B$ 端維持 $V_{OL}$ ，如圖三所示。 圖三   A 端放電，C 端被充電 當 $C$ 端電壓因被充電從 $V_{OL}$ 升至 $V_t$ 時，$D$ 端轉態成 $V(0)$，電壓從$V_{OH}$ 瞬間降至 $V_{OL}$，此瞬間的電壓變化量 $...

Conversion Between Sum of Products (SOP) and Product of Sums (POS) 積項和式 (Sum of Products，簡寫 SOP) 與和項積式 (Product of Sums, 簡寫 POS) 是布林代數運算式中兩種常見的表示形式。其中積項是指兩個或兩個以上變數作 及 (AND) 的運算，形式上如同一般代數作乘積運算的項，例如 $\overline XY$ 就是積項。此外，若運算式中其它的項是積項，此時單一變數的項也算是積項，因為單一變數可視為與 $1$ 作及的運算；而和項則指的是兩個或兩個以上變數作 或 (OR) 的運算，形式上如同一般代數作相加運算的項，例如 $\overline X+Y+\overline Z$ 就是和項。此外，若運算式中其它的項是和項，此時單一變數的項也算是和項，因為單一變數可視為與 $0$ 作或的運算。 積項和式與標準積項和式形式 若布林代數運算式，如同一般代數是由一個或一個以上的積項加在一起所組成的形式 ( 「$\;+\;$」在此是 $OR$ 的運算符號與在一般代數中的意義不同 )，則該運算式稱為 積項和式形式 (SOP Form)。例如： $$F(X,\;Y,\;Z)=XY+\overline XY\overline Z+XYZ$$ 如同是由三個乘積項 $XY$、$\overline XY\overline Z$ 以及 $XYZ$ 作加的運算所形成的運算式，因此該運算式稱為積項和式形式。 又若積項和式中的每一個積項，都包含有所有變數，則該運算式稱為 標準積項和式 形式 (Canonical SOP Form) ，例如： $$F(X,\;Y,\;Z)=XY\overline Z+\overline XY\overline Z+XYZ$$ 如同是由三個包含有所有變數的乘積項 $XY \overline Z$、$\overline X\;Y\overline Z$ 以及 $XYZ$ 相加所形成的運算式，因此該運算式稱為 標準 積項和式 形式 。而標準積項和式中的積項，被稱為 最小項 (Minterm)。理解上可知：標準積項中只要任一變數元素為 $0$，整個標準積項就會為 $0$，因此標準積項容易為 $0$，所以被稱為最小項。 和 項 積 式與標準 和 項 積 式 形式 布...