向量內積與外積等式的一般解

作者： Danny Yang
General Solutions of Vector Inner and Outer Product Equations


如下的向量內積向量等式， $c$  為純量 (Scalar)，$\mathbf A$ 為一已知向量，$\mathbf X$ 為未知向量，且 $\mathbf B$ 為任一垂直 $\mathbf A$ 的向量 ( 即 $\mathbf A \cdot \mathbf B =0)$，則該等式與其一般解如下：


$1.\;\;c = \mathbf A \cdot \mathbf X$

$\;\;\;\;$則

$\;\;\;\;\mathbf X = \frac{c\; \mathbf A}{\mathbf A \cdot \mathbf A}+\mathbf B$

推導：

根據公式， $\mathbf X$ 在 $\mathbf A$ 上的正射影 (Orthogonal Projection) 
$$\mathbf D=Proj_{\mathbf  A}\mathbf  X=\frac{\mathbf  X \cdot \mathbf A}{\mathbf A \cdot \mathbf A}\mathbf A$$
又已知 $\mathbf B$ 為垂直於 $\mathbf A$ 的任一向量，所以
$$\mathbf X=\mathbf D+\mathbf B=\frac{\mathbf  X \cdot \mathbf A}{\mathbf A \cdot \mathbf A}\mathbf A+\mathbf B=\frac{c\;\mathbf A}{\mathbf A \cdot \mathbf A}+\mathbf B$$

■


如下的向量外積向量等式，$\mathbf A$ 與 $\mathbf C$ 為已知的向量，$\mathbf C$ 為一未知的向量，且 $k$ 為任一純量，則該等式及其一般解如下：


2.$\;\;\mathbf C=\mathbf A \times \mathbf X$

$\;\;\;\;\;$則

$\;\;\;\;\;\mathbf X=\frac {\mathbf C \times \mathbf A}{\mathbf A \cdot \mathbf A}+k\;\mathbf A$

推導：

已知
$$\mathbf C=\mathbf A \times \mathbf X$$
根據向量三重積 (Triple Vector Product) 公式
$$(\mathbf A \times \mathbf B)\times \mathbf C=(\mathbf A \cdot \mathbf C)\mathbf B-(\mathbf B \cdot \mathbf C)\mathbf A$$
可知
$$\mathbf  C \times \mathbf A=(\mathbf A \times \mathbf X)\times \mathbf A\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=(\mathbf A \cdot \mathbf A)\mathbf X-(\mathbf X \cdot \mathbf A)\mathbf A$$
所以
$$(\mathbf A \cdot \mathbf A)\mathbf X=\mathbf C \times \mathbf A+(\mathbf X \cdot \mathbf A)\mathbf A$$
即
$$\mathbf X=\frac {\mathbf C \times \mathbf A}{\mathbf A \cdot \mathbf A}+\frac{\mathbf X \cdot \mathbf A}{\mathbf A \cdot \mathbf A}\mathbf A$$
令純量 $k=\frac{\mathbf X \cdot \mathbf A}{\mathbf A \cdot \mathbf A}$，則
$$\mathbf X=\frac {\mathbf C \times \mathbf A}{\mathbf A \cdot \mathbf A}+k\;\mathbf A$$

■




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