(ln x)^2 dx 的積分

Integral of (ln x)^2 dx

求 $\int (\ln x)^2dx$

解：

令 

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;I=\int (\ln x)^2dx\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$

且

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u=\ln x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$

則由 (2) 可知

$$du=\frac{dx}{x}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)$$

以及

$$e^u=e^{\ln x}=x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(4)$$

接著將上式 $x=e^u$ 代入 (3)，可得

$$du=\frac{dx}{e^u}$$

即

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;dx=e^udu\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(5)$$

因此，將 (2) 與 (5) 代入 (1) 可知

$$I=\int u^2e^udu\;\;\;$$

$$=\int u^2d(e^u)$$

利用分部積分 (Integration by Parts) 公式：$\int x\;dy=xy-\int y\; dx$，上式可改寫成

$$I=u^2e^u-\int e^u\;2u\;du\;\;$$

$$=u^2e^u-2\int u\;d(e^u)$$

上式第二項的部分再應用一次分部積分，則上式還可以改寫成

$$I=u^2e^u-2\left [ue^u-\int e^udu \right ]$$

$$\;=u^2e^u-2ue^u+2\int e^udu$$

$$=u^2e^u-2ue^u+2e^u+C$$

最後，將 (2) 代回上式，即可得

$$I=(\ln x)^2-2x\;\ln x+2x+C$$