眞趣盎然集

Mathematical Analysis of Triangular Waveform Generator Circuit Using Op-amp  三角波產生器是由 史密特觸發電路 (Schmitt trigger) 與 米勒積分器 (Miller Integrator) 所組成。前者負責產生方波後再輸入後者以產生三角波，而史密特觸發電路的輸入則是來自積分器的輸出。以下將對三角波產生器進行電路與數學分析，以了解其動作的原理。 如圖一所示的三角波產生器，OPA1 與 $R_1$、 $R_2$ 的連結組成了 非反相史密特觸發電路 ，輸出 $v_{o1}$，而其輸入來自於由 OPA2 與 $R$、$C$ 的連結所組成的 積分器 的輸出 $v_o$。 圖一     三角波產生器  

採負回授方式連接的運算放大器 (Operational Amplifier，簡稱 OPA) 可作為電壓放大之用。而欲被放大的電壓輸入信號若輸入於 OPA 的負輸入端 ($v_-$) ，所形成的電壓放大器被稱為 反相 OPA 電壓放大器 (Inverting Operational Amplifier)；反之，若電壓輸入信號輸入於 OPA 的正輸入端  ($v_+$)，則被稱為 非反相 OPA 電壓放大器 (Non-inverting Operational Amplifier)。無論是反相 OPA 電壓放大器或是非反相 OPA 電壓放大器，其 OPA 的正負輸入端，在負回授方式連接的情況下皆存在有 虛短路 (Virtual Short) 與 虛斷路 (Virtual Break) 現象。 所謂虛短路指的是理想的 OPA 放大器在負回授的情況下，OPA 的正輸入端與負輸入端的電位差極小，小至接近於零的現象。因此，在簡化分析時常可將二者的電位視為相等，猶如兩端短路ㄧ般；而所謂虛斷路指的是 OPA 放大器在負回授的情況下，流入 OPA 本身輸入端的電流極小，小至接近於零，以致於可將 OPA 內部連接輸入電阻的兩輸入端視為斷路的現象。 以下將分別針對反相 OPA 電壓放大器以及非反相 OPA 電壓放大器，證明虛短路與虛斷路現象之存在。且上述的二現象若存在，則在推導反相與非反相 OPA 電壓放大器的增益公式時，過程將會容易許多。

N 通道增強型 MOSFET 在飽和區操作時，若忽略通道長度調變效應的理想情況下，其 I–V 特性方程式為 $$I_D = K (V_{GS} - V_t)^2$$ 實際上若考慮通道長度調變效應，則上式應修正為 $$I_D \approx K (V_{GS} - V_t)^2(1+\frac{V_{DS}}{V_A})$$ 以下將針對這兩種情況，分別推導上述的兩公式。 理想的 $I-V$ 特性方程式

如圖一所示，為ㄧ N 通道增強型 MOSFET 在已知 $V_{GS}$ 值時的理想 $I_D - V_{DS}$  特性曲線圖。當 $V_{GS} < V_{GS}-V_t$  時，N 通道增強型 MOSFET 操作在歐姆區 (Ohmic Region) 或稱三極區 (Triode Region) 或是非飽和區 (Nonsaturation Region)，其  $I_D - V_{DS}$ 特性曲線方程式為一二次函數：即ㄧ開口向下，頂點座標為 $(V_{GS}-V_t, I_{D1})$，且經過原點的拋物線的左半部。其中的 $I_{D1} = K(V_{GS}-V_t)^2$ ，為 N 通道增強型 MOSFET 的操作由歐姆區進入飽和區臨界點的 $I_D$ 表示式，而 $K$ 為一常數且其值可由下式決定： $$K=\frac{1}{2}\mu C_{o}(\frac{W}{L})$$ 上式中的 $\mu$  為感應通道中主要載子 ( 在此是電子) 的遷移率 (mobility)，$C_o$ 是閘極與通道間每單位面積的電容量，$W$ 是 通道的寬度，而 $L$ 則是 通道的長度。 圖一     N 通道增強型 MOSFET 在  $V_{GS}$ 為已知時的 $I_D - V_{DS}$  理想特性曲線圖 已知二次函數可寫成 $$f(x) = ax^2 + bx + c$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=a(x-h)^2+k\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(a \neq 0)$$ 其中的 $(h, k)$ 為此二次函數的頂點座標。 因此，N 通道增強型 MOSFET 在歐姆區操作的 $I_D - V_{DS}$ 特性方程式可寫成 $$I_D = a [\;V_{DS} - (V_{GS} - V_t)\;]^2 + I_{D1}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\...