三角波產生器的電路與數學分析

作者： Danny Yang

Mathematical Analysis of Triangular Waveform Generator Circuit Using Op-amp 



三角波產生器是由史密特觸發電路 (Schmitt trigger) 與米勒積分器 (Miller Integrator) 所組成。前者負責產生方波後再輸入後者以產生三角波，而史密特觸發電路的輸入則是來自積分器的輸出。以下將對三角波產生器進行電路與數學分析，以了解其動作的原理。

如圖一所示的三角波產生器，OPA1 與 $R_1$、 $R_2$ 的連結組成了非反相史密特觸發電路，輸出 $v_{o1}$，而其輸入來自於由 OPA2 與 $R$、$C$ 的連結所組成的積分器的輸出 $v_o$。

三角波產生器電路圖
圖一    三角波產生器 


對 OPA1 而言，其 $+$ 輸入端的電位 $v_+$ 應用密爾門定理 (Millman's theorem) 可知為

$$v_+ = \frac{\frac{v_{o1}}{R_1} + \frac{v_o}{R_2}}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}} = \frac{v_o R_1 + v_{o1}R_2}{R_1 + R_2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$

由於採正回授的史密特觸發電路，其輸出值不是正飽和電壓 $+V_{sat}$，就是負飽和電壓 $-V_{sat}$。因此

(1) 假設 $t = 0$ 時，OPA1 為正飽和輸出

即 $t = 0$ 時，$v_{o1} = +V_{sat}$ ，且 OPA2 的 $v_o(0) = 0 V$ ( 因為虛短路，OPA2 的 $v_- = v_+ = 0 V$。$t = 0$ 時為電源剛接上瞬間，電容 C 可視為短路，$0V$ 的電位會出現在 $v_o$ )。


三角波產生器
圖二    三角波產生器在 $v_{o1} = +V_{sat}$ 時，$i_R = i_C$，方向向右


如圖二所示，具負回授的 OPA2，存在有虛短路，所以 OPA2 的負輸入端電位等於正輸入端電位，即 $v_- = 0 V$。又具負回授的 OPA2，也存在有虛斷路，因此流入負輸入端的電流為 0。

因此，電阻 $R$ 兩端出現電位差，$i_R$ 開始流動。根據 KCL 與上述的虛斷路現象可知
$$i_R = i_C\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$
亦即等值的 $i_C$ 會出現並以同方向同時流動，導致電容 $C$ 的左側極板逐漸累積正電荷 $Q_C$，右側極板則累積等量的負電荷 $-Q_C$。因為 $v_C = \frac{Q_C}{C}$，隨著電容極板電荷量增加，電容兩端電位差 $v_C$ 也隨之增加。又此時相對為高電位的電容左側極板因虛短路電位為 0，因此與相對為低電位的電容右側極板相連的 $v_o$ 的值由一開始的 $0V$ 隨時間增加往負電位的方向下降。

又式子 (2) 可改寫成
$$\frac{V_{sat}- 0}{R} = C\frac{dv_c}{dt} = -C\frac{dv_o}{dt}$$
$$dv_o = -\frac{V_{sat}}{RC}dt$$
$$\int_0^t dv_0=  -\frac{V_{sat}}{RC}\int_0^t dt^{'}$$
$$v_o(t) = v_o(0) - \frac{V_{sat}}{RC}t = 0 -  \frac{V_{sat}}{RC}t= -  \frac{V_{sat}}{RC}t\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;t > 0 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)$$


$ v_o(t)$ 的數學表示式的物理意義與上面所描述的一致。

接著將 $v_{o1} = + V_{sat}$  代入式子 (1)，可得
$$v_+ = \frac{v_o R_1 + V_{sat}R_2}{R_1 + R_2}$$

已知 $v_{o1}$ 由正飽和電壓 $+V_{sat}$ 轉態為負飽和電壓 $-V_{sat}$ 的條件為 OPA1 的 $v_+ < v_-$ ，即
$$\frac{v_o R_1 + V_{sat}R_2}{R_1 + R_2} < 0$$
因為 $R_1 + R_2 > 0$，所以
$$v_o R_1 + V_{sat} R_2 < 0$$
可知 $v_{o1}$ 由 $+V_{sat}$ 轉態 $-V_{sat}$ 的條件為：
$$v_o < - \frac{R_2}{R_1}V_{sat}$$
設 $t = t_1$ 時，
$$v_o (t_1) = - \frac{R_2}{R_1}V_{sat}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (4)$$
且 $t = t_1+$ 時，$v_o (t_1 +) < -\frac{R_2}{R_1}V_{sat}$，$v_{o1}$ 由正飽和電壓 $+V_{sat}$ 轉態為負飽和電壓 $-V_{sat}$ 。綜合式子 (3) 與式子 (4) 可得
$$t_1 = \frac{R_2}{R_1}RC$$
亦即在下一次轉態前，當 $t > t_1$，$v_{o1} = -V_{sat}$，如圖三所示，$i_R$ 與 $i_C$ 的流動方向會倒過來。原電容 C 左極板的正電荷與右極板的負電荷會隨著電流流動逐漸減少至零 ($v_o$ 值也由負值逐漸升至零)，接著隨著電流繼續流動，電容 C 左極板逐漸累積負電荷，右極板逐漸累積等量的正電荷 ( $v_o$ 值也由零逐漸往正值上升)。亦即 $v_o$ 的值會由 $-\frac{R_2}{R_1}V_{sat}$ 處隨時間增加而線性上升。

三角波產生器
圖三    三角波產生器，$v_{o1} = -V_{sat}$

數學分析部分，因為
$$i_R = i_C$$
即
$$\frac{0-(-V_{sat})}{R} = C\frac{dv_C}{dt} = C\frac{dv_o}{dt}$$
上式整理得
$$dv_o = \frac{V_{sat}}{RC}dt$$
$$\int_{t1}^t dv_o = \frac{V_{sat}}{RC}\int_{t1}^t dt^{'}$$
$$v_o(t) - v_o(t_1) = \frac{V_{sat}}{RC}(t - t_1)$$
將式子 (4) 代入上式，可得
$$v_o(t) = -\frac{R_2}{R_1}V_{sat} + \frac{V_{sat}}{RC}(t - t_1)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;t > t_1 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(5)$$
將此時的 $v_{o1} = -V_{sat}$ 代入式子 (1)，可得
$$v_+ = \frac{v_o R_1 - V_{sat}R_2}{R_1 + R_2}$$
$v_{o1}$ 由負飽和電壓 $-V_{sat}$ 轉態為正飽和電壓 $+V_{sat}$ 的條件為 OPA1 的 $v_+ > v_-$，即
$$\frac{v_o R_1 - V_{sat}R_2}{R_1 + R_2} > 0$$
因為 $R_1+R_2 > 0$，所以
$$v_o R_1 - V_{sat}R_2 > 0$$
可知 $v_{o1}$ 由 $-V_{sat}$ 轉態為 $+V_{sat}$ 的條件為：
$$v_o > \frac{R_2}{R_1}V_{sat}$$
設 $t = t_2 (t_2 > t_1)$ 時，
$$v_o (t_2) =  \frac{R_2}{R_1}V_{sat}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(6)$$
且 $t = t_2 +$ 時，$v_o(t_2 +) > \frac{R_2}{R_1}V_{sat}$ ，$v_{o1}$ 剛好由負飽和電壓 $-V_{sat}$ 轉態為正飽和電壓 $+V_{sat}$。綜合式子 (5) 與式子 (6) 可得
$$t_2 - t_1 = \frac{2R_2}{R_1}RC$$
當 $t = t_2+$ 時，$v_{o1} = +V_{sat}$，如圖二所示，$i_R = i_C$，即
$$\frac{V_{sat} - 0}{R} = C\frac {dv_C}{dt} = -C\frac{dv_o}{dt}$$
$$dv_o = - \frac{V_{sat}}{RC}dt$$
$$\int_{t_2}^t dv_o = -\frac{V_{sat}}{RC}\int_{t_2}^t dt{'}$$
$$v_o (t) = v_o(t_2) - \frac{V_{sat}}{RC}(t - t_2)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(7)$$
將式子 (6) 代入式子 (7) 可得
$$v_o(t) = \frac{R_2}{R_1}V_{sat} - \frac{V_{sat}}{RC}(t - t_2)\;\;\;\;\;\;\;\;\;t > t_2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(8)$$
將此時的 $v_{o1} = +V_{sat}$ 代入式子 (1)，可得
$$v_+ = \frac{v_o R_1 + V_{sat}R_2}{R_1+R_2}$$
$v_{o1}$ 由正飽和電壓 $+V_{sat}$ 轉態為負飽和電壓 $-V_{sat}$ 的條件為 OPA1 的 $v_+ < v_-$，即
$$\frac{v_o R_1 + V_{sat}R_2}{R_1+R_2} < 0$$
因為 $R_1+R_2 > 0$，所以
$$v_o R_1 + V_{sat}R_2 < 0$$
可知 $v_{o1}$ 由 $+V_{sat}$  轉態為 $-V_{sat}$ 的條件為：
$$v_o < -\frac{R_2}{R_1}V_{sat}$$
設 $t = t_3$  $(t_3 > t_2)$ 時，
$$v_o(t_3) = -\frac{R_2}{R_1}V_{sat}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(9)$$
且當 $t = t_3 +$ 時，$v_o(t_3+) < -\frac{R_2}{R_1}V_{sat}$ ，$v_{o1}$ 剛好由正飽和電壓 $+V_{sat}$ 轉態為負飽和電壓 $-V_{sat}$。綜合式子 (8) 與式子 (9) 可得
$$t_3 - t_2 = \frac{2R_2}{R_1}RC$$

接下來的情況，$v_o$ 與 $v_{o1}$ 就重複 $t = t_1$ 至 $t = t_2$ 的波形，再來是重複 $t = t_2$ 至 $t = t_3$ 的波形，形成一個新的週期後持續下去，不再贅述。如圖四所示為 $t = 0$，$v_{01} = +V_{sat}$ 時，$v_{o1}(t)$ 與 $v_o (t)$ 輸出波形圖。$t = 0$ 至 $t = t_1$ 為不穩定時期。當 $t > t_1$，進入穩定的週期波輸出。其週期
$$T = (t_2 - t_1) + (t_3 - t_2)$$
$$=\frac{4R_2}{R_1}RC$$                  
頻率則為
$$f = \frac{1}{T} = \frac{R_1}{4R_2 RC}$$

圖四    若 $t = 0$ ，$v_{o1} = + V_{sat}$  時的 $v_o$ 及 $v_{o1}$ 的波形 （假設 $R_1 > R_2$）


(2) 假設 $t = 0$ 時，OPA1 為負飽和輸出

即 $t = 0$ 時，$v_{o1} = -V_{sat}$，且 OPA2 的 $v_o(0) = 0V$。如圖三所示，
$$i_R = i_C$$
$$\frac{0 - (-V_{sat})}{R} = C\frac{dv_o}{dt}$$
$$dv_o = \frac{V_{sat}}{RC}dt$$
$$\int_0^t dv_o = \frac{V_{sat}}{RC}\int_0^t dt^{'}$$
$$v_o(t) = v_o(0) + \frac{V_{sat}}{RC}t = 0 +  \frac{V_{sat}}{RC}t\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;t > 0 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(10)$$
可知 $v_o$ 從 $t = 0$ 一開始由 $0V$ 處隨時間增加往正電位的方向線性增加。
接著將此時的 $v_{o1} = -V_{sat}$ 代入式子 (1)，可得
$$v_+ =\frac{v_o R_1-V_{sat}R_2}{R_1 + R_2}$$
已知 $v_{o1}$ 由負飽和電壓 $-V_{sat}$ 轉態為正飽和電壓 $+V_{sat}$ 的條件為 OPA1 的 $v_+ > v_-$ ，即
$$\frac{v_o R_1 - V_{sat}R_2}{R_1 + R_2} > 0$$
因為 $R_1 + R_2 > 0$，所以
$$v_o R_1 - V_{sat}R_2 > 0$$
可知 $v_{o1}$ 由 $-V_{sat}$ 轉態為 $+V_{sat}$ 的條件為：
$$v_o > \frac{R_2}{R_1}V_{sat}$$
設 $t = t_1$ 時，
$$v_o(t_1) = \frac{R_2}{R_1}V_{sat}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(11)$$
且 $t = t_1+$ 時，$v_o(t_1+) > \frac{R_2}{R_1}V_{sat}$，$v_{o1}$ 由負飽和電壓 $-V_{sat}$ 轉態為正飽和電壓 $+V_{sat}$。綜合式子 (10) 與式子 (11) 可得
$$t_1 = \frac{R_2}{R_1}V_{sat}$$
亦即在下一次轉態前，當 $t > t_1$，$v_{o1} = +V_{sat}$，如圖三所示，此時 $i_R$ 與 $i_C$  的流動方向會倒過來。$v_o$ 的值會由 $\frac{R_2}{R_1}V_{sat}$ 處隨時間增加而線性下降。

數學分析部分，
$$i_R = i_C$$
$$\frac{0 - (-V_{sat})}{R}= C\frac{dv_o}{dt}$$
$$dv_o = \frac{V_{sat}}{RC}dt$$
$$\int_{t1}^t dv_o = \frac{V_{sat}}{RC}\int_{t1}^t dt^{'}$$
$$v_o(t) = v_o(t_1) - \frac{V_{sat}}{RC}(t - t_1) = \frac{R_2}{R_1}V_{sat} - \frac{V_{sat}}{RC}(t - t_1)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;t > t_1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(12)$$
$v_o(t)$ 的數學表示式的物理意義與上面所描述的一致。
將此時的 $v_{o1} = V_{sat}$ 代入式子 (1)，可得
$$v_+ = \frac{v_o R_1 + V_{sat} R_2}{R_1 + R_2}$$
$v_{o1}$ 由正飽和電壓 $+V_{sat}$ 轉態為負飽和電壓 $-V_{sat}$ 的條件為 OPA1 的 $v_+ < v_-$，即
$$\frac{v_o R_1 + V_{sat} R_2}{R_1 + R_2} < 0$$
因為 $R_1 + R_2 > 0$，所以
$$v_o R_1 + V_{sat} R_2 < 0$$
可知 $v_{o1}$ 由 $+V_{sat}$ 轉態為 $-V_{sat}$ 的條件為：
$$v_o < -\frac{R_2}{R_1}V_{sat}$$
設 $t = t_2$ 時，
$$v_o(t_2) = -\frac{R_2}{R_1}V_{sat}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(13)$$
且 $t = t_2+$ 時，$v_o(t_2 +) < - \frac{R_2}{R_1}V_{sat}$ ，$v_{o1}$  剛好由正飽和電壓 $+V_{sat}$ 轉態為負飽和電壓 $-V_{sat}$。綜合式子 (12) 與式子 (13) 可得
$$t_2 - t_1 = \frac{2R_2}{R_1}RC$$
又當 $t = t_2+$ 時，$v_{o1} = -V_{sat}$ ，如圖二所示，$i_R = i_C$ ，即
$$\frac{0-(-V_{sat})}{R} = C\frac{dv_o}{dt}$$
$$dv_o = \frac{V_{sat}}{RC}dt$$
$$\int_{t_2}^t dv_o = \frac{V_{sat}}{RC}\int_{t_2}^t dt^{'}$$
$$v_o(t) = v_o(t_2) + \frac{V_{sat}}{RC}(t - t_2)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(14)$$
將式子 (13) 代入式子 (14) 可得
$$v_o(t) = - \frac{R_2}{R_1}V_{sat} + \frac{V_{sat}}{RC}(t - t_2)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;t  > t_2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (15)$$
可知 $v_o(t)$ 的值在 $t > t_2$ 且下一次轉態前，由 $-\frac{R_2}{R_1}V_{sat}$ 處隨時間增加而線性上升。

將此時的 $v_{o1} = -V_{sat}$ 代入式子 (1)，可得
$$v_+ =\frac{v_o R_1 - V_{sat}R_2}{R_1 + R_2}$$
由負飽和電壓 $-V_{sat}$ 轉態為正飽和電壓 $+V_{sat}$ 的條件為 OPA1 的 $v_+ > v_-$，即
$$\frac{v_o R_1 - V_{sat}R_2}{R_1 + R_2}> 0$$
因為 $R_1 + R_2 > 0$，所以
$$v_o R_1 - V_{sat}R_2> 0$$
可知 $v_{o1}$ 由 $-V_{sat}$ 轉態為 +V_{sat}$ 的條件為：
$$v_o > \frac{R_2}{R_1}V_{sat}$$
設 $t = t_3$ $(t_3 > t_2)$ 時，
$$v_o(t_3) = \frac{R_2}{R_1}V_{sat}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(16)$$
且當 $t = t_3+$ 時，$v_o(t_3+) > \frac{R_2}{R_1}V_{sat}$ ，$v_{o1}$ 剛好由負飽和電壓 $-V_{sat}$ 轉態為正飽和電壓 $+V_{sat}$。將 $t = t_3$ 代入式子 (15) 與式子 (16) 綜合可得
$$t_3 - t_2 = \frac{2R_2}{R_1}RC$$

接下來的情況，$v_o$ 與 $v_{o1}$ 就重複 $t = t_1$  至 $t = t_2$ 的波形，再來是重複 $t = t_2$ 至 $t = t_3$ 的波形，形成一個新的週期後持續下去，不再贅述。如圖五所示為 $t = 0$ 時，$v_{o1} = -V_{sat}$，$v_{o1}$ 與 $v_o$ 的輸出波形圖。$t = 0$ 至 $t = t_1$ 為不穩定時期。當 $t > t_1$，進入穩定的週期波輸出。其週期
$$T = (t_2 - t_1) + (t_3 - t_2)$$
$$=\frac{4R_2}{R_1}RC$$                             
頻率則為
$$f = \frac{1}{T} = \frac{R_1}{4R_2 RC}$$

三角波產生電路輸出波形
圖五  $t = 0$ 時，$v_{o1} =-V_{sat}$，$v_{o1}(t)$ 與 $v_o(t) $ 輸出波形圖（假設 $R_1 > R_2$）



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