眞趣盎然集

  sine 的三倍角公式如下： $$\sin 3x = 3\sin x-4\sin^3 x$$ 以下將分別以角度加法公式以及尤拉公式推導 sine 的三倍角公式。 以角度加法公式推導 sine 的角度加法公式如下所示： $$\sin (A+B) = \sin A\cos B+\cos A\sin B$$ 所以 $$\sin 3x = \sin (2x+x) = \sin 2x\cos x+\cos 2x\sin x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ 又已知 $$\sin 2x = 2\sin x\cos x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$ $$\cos 2x = 1-2\sin^2 x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)$$ 將式子 (2) 與 (3) 代入式子 (1) 可得 $$\sin 3x = (2\sin x\cos x)\cos x+(1-2\sin^2 x)\sin x\;\;\;\;\;\;\;$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=2\sin x\cos^2 x+\sin x-2\sin^3 x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(4)$$ 又已知 $\cos^2 x = 1-\sin^2 x$，代入式子 (4)，即可得 $$\sin 3x = 2\sin x-2\sin^3 x+\sin x-2\sin^3 x\;$$ $$=3\sin x-4\sin^3 x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$ 以尤拉公式推導 已知尤拉公式 (Euler’s Formula) $$e^{ix} = \cos x+i\sin x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(5)$$ $$e^{-ix} = \cos x-i\sin x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(6)$$ 其中 $i = \sqrt{-1}$。 由式子 (5) 與 (6) 可得 $$\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}...

  常見的 $sine$ 二倍角公式有兩種形式，首先第一種形式 $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ 是基本的形式，而如下所示為另一形式的 sine 二倍角公式，則可由基本形式根據三角函數的性質即可推導出。 $\sin 2x=\frac{2\tan x}{1+\tan^2 x}$ 以下將分別以角度加法公式以及尤拉公式來推導 sine 的二倍角公式。 以角度加法公式推導 已知 sine 的角度加法公式如下所示： $$\sin (A+B) = \sin A\cos B+\cos A\sin B$$ 所以 $$\sin 2x = \sin (x+x) = \sin x \cos x+\cos x\sin x = 2\sin x\cos x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ 又式子 (1) 可改寫成 $$\sin 2x =2\sin x\frac{\cos^2 x}{\cos x}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$ $$\;\;\;\;\;\;= \cos^2 x\;\left (\frac{2\sin x}{\cos x}\right )$$ $$\;\;\;=\frac{1}{\sec^2 x}(2\tan x)$$ $$=\frac{2\tan x}{\tan^2 x+1}\;\;\;$$ 上面式子的推導使用到的三角函數等式與性質有： $\cos^2 x = \frac{1}{\sec^2 x}$、$\frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$ 以及 $\sec^2 x = \tan^2 x+1$。 以尤拉公式推導 已知尤拉公式 (Euler's formula) $$e^{ix} = \cos x+i\sin x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$ 且 $$e^{-ix} = \cos x-i\sin x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)$$ 其中 $i=\sqrt{-1}$。 由式子 (2) 與 (3) 可得 $$\sin x = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\...

cosine 的三倍角公式如下所示： $$\cos 3x = 4\cos^3 x-3\cos x$$ 以下將分別以角度加法公式以及尤拉公式推導 cosine 的三倍角公式。 以角度加法公式推導 $\cos 3x$ 公式 cosine 的角度加法公式如下所示： $$\cos (A+B) = \cos A\cos B-\sin A\sin B$$ 所以 $$\cos 3x = \cos (2x+x) = \cos 2x\cos x-\sin 2x\sin x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;  (1)$$ 已知 $$\cos 2x = 2\cos^2 x-1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$ $$\sin 2x=2\sin x\cos x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)$$ 將式子 (2) 與 (3) 代入式子 (1) 可得 $$\cos 3x = (2\cos^2 x-1)\cos x-(2\sin x\cos x)\sin x\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$ $$=2\cos^3 x-\cos x-2\sin^2 x\cos x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (4)$$ 又已知  $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ 代入式子 (4)，可得 $$\cos 3x = 2\cos^3 x-\cos x-2(1-\cos^2 x)\cos x$$ $$=4\cos^3 x-3\cos x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$                         以尤拉公式推導  $\cos 3x$ 公式 已知尤拉公式 (Euler’s Formula) $$e^{ix} = \cos x+i\sin x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;...

$cosine$ 二倍角公式有幾種形式，首先 $$cos\;2x = cos^2x-sin^2x$$ 是基本的形式，常見的其它形式的 $cosine$ 二倍角公式，可由其基本形式根據三角函數性質即可推導出。如下所示為其它常見的 $cosine$ 二倍角公式： $$cos\;2x = 2\;cos^2x-1$$ $$cos\;2x = 1-2\;sin^2x$$ 以及 $$cos\;2x = \frac{1-tan^2x}{1+tan^2x}$$ 以下將分別以角度加法公式以及尤拉公式推導 $cosine$ 二倍角公式。 以角度加法公式推導 $cosine$ 的角度加法公式如下所示： $$cos(A+B) = cos\;A\;cos\;B-sin\;A\;sin\;B$$ 所以 $$cos\;2x = cos(x+x) = cos\;x\;cos\;x-sin\;x\;sin\;x = cos^2x-sin^2x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ 又已知 $$cos^2x+sin^2x = 1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$ 則由式子 (2) 可知 $$sin^2x = 1-cos^2x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)$$ 及 $$cos^2x = 1-sin^2x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(4)$$ 將式子 (3) 以及式子 (4) 分別代入式子 (1) 就可得到 $$cos\;2x = 2 \;cos^2x-1$$ 且 $$cos\;2x = 1-2\;sin^2x$$ 又式子 (1) 也可改寫成 $$cos\;2x = cos^2x(1-\frac{sin^2x}{cos^2x})$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= cos^2\;x(1-tan^2x)$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{1}{sec^2x}(1-tan^2x)$$ $$=\frac{1-tan^2x}{1+tan^2x}$$ 上面式子的推導使用到的性質之一是 $sec^2x = 1+tan^2x$ 等式。 以尤拉公式推導 已知尤拉...

  RLC 電路的 零輸入響應 (zero-input response) 也稱為 自然響應 (natural response)。自然響應指的是初始能量儲存於電路的電感器或電容器中，在沒有外加激勵信號情況下，能量隨時間衰減至零的電路反應。RLC 串聯電路中，電感 L 與 電容 C 是能量儲存元件，進行能量交換時會產生振盪；而電阻 R 則是能量消耗的元件會產生阻尼作用，依其阻值大小有衰減振盪幅度或防止振盪的能力。 RLC 串聯電路的自然響應可分三類：當 $R > 2 \sqrt{\frac{L}{C}}$ 時，被稱為 過阻尼 (overdamped) 響應，此時因電阻值太大，振盪無法產生；當 $R = 2 \sqrt{\frac{L}{C}}$ 時，被稱為 臨界阻尼 (critically damped) 響應，電路處於振盪的臨界點；當 $R < 2 \sqrt{\frac{L}{C}}$ 時，則被稱為 次阻尼 或 欠阻尼 (underdamped) 響應，電路會產生振盪然而振盪幅度會隨時間指數式衰減，直至振盪停止。本文則聚焦在實用性高的零輸入 RLC 串聯電路次阻尼響應 $i(t)$ 以及 $v_C(t)$ 的推導上，後者的推導須用到分部積分 (integration by parts) 的技巧，過程會稍微繁瑣一些。 圖一     RLC 串聯電路在 t = 0 時開關閉合                                                                         $i(t)$ 推導 如圖一所示的 RLC 串聯電路，假設開關的初始狀態為開路，電容器的初始電壓 $v_C(0) = V_0$ 且電感器的初始電流 $i_L(0) = 0$。若當 $t = 0$ 時開關閉合迴路形成，則根據克希荷夫電流定律 (KCL) ...