零輸入 RLC 串聯電路次阻尼響應

作者： Danny Yang
 
RLC 電路的零輸入響應 (zero-input response) 也稱為自然響應 (natural response)。自然響應指的是初始能量儲存於電路的電感器或電容器中，在沒有外加激勵信號情況下，能量隨時間衰減至零的電路反應。RLC 串聯電路中，電感 L 與 電容 C 是能量儲存元件，進行能量交換時會產生振盪；而電阻 R 則是能量消耗的元件會產生阻尼作用，依其阻值大小有衰減振盪幅度或防止振盪的能力。

RLC 串聯電路的自然響應可分三類：當 $R > 2 \sqrt{\frac{L}{C}}$ 時，被稱為過阻尼 (overdamped) 響應，此時因電阻值太大，振盪無法產生；當 $R = 2 \sqrt{\frac{L}{C}}$ 時，被稱為臨界阻尼 (critically damped) 響應，電路處於振盪的臨界點；當 $R < 2 \sqrt{\frac{L}{C}}$ 時，則被稱為次阻尼或欠阻尼 (underdamped) 響應，電路會產生振盪然而振盪幅度會隨時間指數式衰減，直至振盪停止。本文則聚焦在實用性高的零輸入 RLC 串聯電路次阻尼響應 $i(t)$ 以及 $v_C(t)$ 的推導上，後者的推導須用到分部積分 (integration by parts) 的技巧，過程會稍微繁瑣一些。


圖一    RLC 串聯電路在 t = 0 時開關閉合
                                                                       

$i(t)$ 推導

如圖一所示的 RLC 串聯電路，假設開關的初始狀態為開路，電容器的初始電壓 $v_C(0) = V_0$ 且電感器的初始電流 $i_L(0) = 0$。若當 $t = 0$ 時開關閉合迴路形成，則根據克希荷夫電流定律 (KCL) 與克希荷夫電壓定律 (KVL) 可知開關閉合後：
$$i_R=i_L=i_C=i$$
且
$$v_R+v_L+v_C = 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$
其中
$$v_R = i\;R$$
$$v_L = L\frac{di}{dt}$$
且
$$v_C = \frac{1}{C}\int_0^tidt^{'}+V_0$$
亦即式子 (1) 可改寫成如下所示的等式
$$iR+L\frac{di}{dt}+\frac{1}{C}\int_0^tidt^{'}+V_0 = 0$$
若將等式兩邊同除以 $L$，則可得
$$i\frac{R}{L}+\frac{di}{dt}+\frac{1}{LC}\int_0^tidt^{'}+\frac{V_0}{L}=0$$

接著再將上式兩邊對 $t$ 微分後，整理可得如下的二階齊次微分方程式
$$\frac{d^2i}{dt^2}+\frac{R}{L}\frac{di}{dt}+\frac{i}{LC} = 0 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;            (2)$$
而上面的二階齊次微分方程式要能求得唯一解，必須存在有二個初始條件，在此分別為 $i(0)$ 的值，以及 $i^{'}(0)$ 的值。亦即其第一個初始條件為
$$i(0) = 0$$
又因為 
$$v_L =L\frac{di}{dt}$$
則
$$\frac{di}{dt} = \frac{v_L}{L}$$
且因 $t = 0$ 時，$i(0) = 0$，$v_R(0) = i(0)R=0$，故由式子 (1) 可知 
$$v_R(0)+v_L(0)+v_C(0) = 0$$
亦即
$$v_L(0)+v_C(0) = 0$$
所以，
$$v_L(0) = -v_C(0) = -V_0$$
因此，第二個初始條件則為
$$\frac{di(0)}{dt}=\frac{v_L(0)}{L} = \frac{-V_0}{L}$$
而式子 (2) 的特徵多項式 (characteristic polynomial) 為
$$\lambda^2+\frac{R}{L}\lambda+\frac{1}{LC} = 0$$
其兩個根則分別為 
$$\lambda_1 = -\frac{R}{2L}+\sqrt{\frac{R^2}{4L^2}-\frac{1}{LC}}$$
以及
$$\lambda_2 = -\frac{R}{2L}-\sqrt{\frac{R^2}{4L^2}-\frac{1}{LC}}$$
顯然地，若 $\frac{R^2}{4L^2}<\frac{1}{LC}$  (或  $R < 2 \sqrt{\frac{L}{C}}$) 時，$\lambda_1$ 與 $\lambda_2$ 會互為共軛複數，此時的電路被稱為零輸入次阻尼 RLC 串聯電路（zero-input RLC circuit underdamped)。而 $\lambda_1$ 與 $\lambda_2$ 則也可分別寫成
$$\lambda_1 = -\frac{R}{2L}+j\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{R^2}{4L^2}}$$
且
$$\lambda_2 =  -\frac{R}{2L}-j\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{R^2}{4L^2}}$$
其中的 $j=\sqrt{-1}$。

然而為簡化推導起見，可令
$$\alpha = \frac{R}{2L}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)$$
以及
$$\omega_0 = \sqrt{\frac{1}{LC}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(4)$$

上面的 $\alpha$ 被稱為電路的阻尼常數 (damping constant) 或阻尼係數 (damping coefficient)，$\omega_0$ 則被稱為振盪頻率 (resonant frequency)。此外，特徵多項式的兩個根 $\lambda_1$ 以及 $\lambda_2$ 被稱為自然頻率 (natural frequencies)，在此為共軛複數。

又令
$$\omega_s = \sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{R^2}{4L^2}}=\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(5)$$
亦即
$$\lambda_1 = -\alpha + j\omega_s $$
且
$$\lambda_2 = -\alpha - j\omega_s $$
則二階齊次微分方程式子 (2) 的通解，亦即該零輸入RLC 串聯電路的電流響應為
$$i(t) = p_1e^{\lambda_1t}+ p_2e^{\lambda_2t}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$=p_1e^{-(\alpha-j\omega_s)t}+p_2e^{-(\alpha+j\omega_s)t}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(6)$$
其中 $p_1$ 與 $p_2$ 為任意常數。

為了求出 $p_1$ 與 $p_2$，先將初始條件 $i(0) = 0$  代入式子 (6) 可得
$$p_1 + p_2 = 0$$
或
$$p_1 = - p_2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (7)$$
再將式子 (6) 對 $t$ 微分可得
$$\frac{di}{dt} = -(\alpha - j\omega_s)p_1e^{-(\alpha-j\omega_s)t}-(\alpha+j\omega_s)p_2e^{-(\alpha+j\omega_s)t}$$
令 $t = 0$ 代入上式可得
$$\frac{di(0)}{dt} = -(\alpha-j\omega_s)p_1-(\alpha+j\omega_s)p_2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;               (8)$$
再將式子 (7) 代入式子 (8) 可得
$$\frac{di(0)}{dt} = 2j\omega_s p_1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(9)$$
又初始條件 $\frac{di(0)}{dt} = \frac{-V_0}{L}$，代入式子 (9) 可得
$$p_1 = -\frac{V_0}{2j L\omega_s }$$
由式子 (7) 可知
$$p_2 = \frac{V_0}{2j L\omega_s }$$ 
接著將上面的 $p_1$ 與 $p_2$  代入式子 (6) 並綜合式子 (4) 可得
$$i(t) = -\frac{V_0}{2j L\omega_s }e^{-(\alpha - j\omega_s)t}+\frac{V_0}{2j L\omega_s }e^{-(\alpha+j\omega_s)t}$$
$$=-\frac{V_0}{L\omega_s }e^{-\alpha t}\left (\frac{e^{j\omega_s t}-e^{-j\omega_s t}}{2j}\right )\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$=-\frac{V_0}{L\omega_s }e^{-\alpha t}sin\;\omega_s t \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$=-\frac{V_0 C}{LC\omega_s }e^{-\alpha t}sin\;\omega_s t \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$\;\;\;\;\;\;=-V_0\frac{\omega_0^2 C}{\omega_s}e^{-\alpha t}sin\;\omega_s t \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(10)$$

上面的式子推導過程中應用了尤拉等式，即 $\frac{e^{jx}-e^{-jx}}{2j} = sin \;x$。


$v_C(t)$ 推導

接著我們來推導 $v_C(t)$，因為
$$v_C(t) = \frac{1}{C}\int_0^t i(u)du + V_0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(11)$$
將式子 (10) 代入式子 (11)中，可得
$$v_C(t) = \frac{1}{C}\int_0^t \left (-\frac{V_0 \omega_0^2 C}{\omega_s }\right )e^{-\alpha u}sin\;\omega_s u \;du+V_0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$ = -V_0\frac{\omega_o^2}{\omega_s }\int_0^te^{-\alpha u}sin\;\omega_s u\;du+V_0 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(12)$$

利用分部積分公式 $\int u\;dv = uv -\int v\;du$，式子 (12) 中的
$$\int_0^t e^{-\alpha u}sin\;\omega_s u\;du = -\frac{1}{\alpha}\int_0^t sin\;\omega_s u \;d(e^{-\alpha u})\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$=-\frac{1}{\alpha}[\left(sin\;\omega_s u)e^{-\alpha u}\right\rvert_0^t-\int_0^t e^{-\alpha u}\;d(sin \omega_s u)]\;$$
$$=-\frac{1}{\alpha}e^{-\alpha t}sin\;\omega_s t + \frac{\omega_s}{\alpha}\int_0^te^{-\alpha u}cos\;\omega_s u\;du\;\;\;\;$$
$$=-\frac{1}{\alpha}e^{-\alpha t}sin\;\omega_s t -\frac{\omega_s}{\alpha^2}\int_0^t cos\;\omega_s u \;d(e^{-\alpha u})\;\;\;$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=-\frac{1}{\alpha}e^{-\alpha t}sin\;\omega_s t -\frac{\omega_s}{\alpha^2}[ e^{-\alpha u}cos\;\omega_s u \rvert_0^t - \int_0^te^{-\alpha u}\;d(cos\;\omega_s u)]$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=-\frac{1}{\alpha}e^{-\alpha t}sin\;\omega_s t-\frac{\omega_s}{\alpha^2}e^{-\alpha t}cos\;\omega_s t + \frac{\omega_s}{\alpha^2}-\frac{\omega_s^2}{\alpha^2}\int_0^te^{-\alpha u}sin\;\omega_s u\;du$$      
亦即
$$(1+\frac{\omega_s^2}{\alpha^2})\int_0^te^{-\alpha u}sin\;\omega_s u \;du = -\frac{1}{\alpha}e^{-\alpha t}sin\;\omega_s t-\frac{\omega_s}{\alpha^2}e^{-\alpha t}cos\;\omega_s t+\frac{\omega_s}{\alpha^2}$$
所以
$$\int_0^t e^{-\alpha u}sin\;\omega_s u \;du = -\frac{\alpha}{\alpha^2+\omega_s^2}e^{-\alpha t}sin\;\omega_s t-\frac{\omega_s}{\alpha^2+\omega_s^2}e^{-\alpha t}cos\;\omega_s t+\frac{\omega_s}{\alpha^2+\omega_s^2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(13)$$
接著將式子 (13) 代回式子 (12) 可得
$$v_C(t) = - V_0\frac{\omega_0^2}{\omega_s }\left (-\frac{\alpha}{\alpha^2+\omega_s^2}e^{-\alpha t}sin\;\omega_s t-\frac{\omega_s}{\alpha^2+\omega_s^2}e^{-\alpha t}cos\;\omega_s t + \frac{\omega_s}{\alpha^2+\omega_s^2}\right )+V_0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$=V_0\frac{\omega_0^2e^{-\alpha t}}{\omega_s (\alpha^2+\omega_s^2)}(\alpha \;sin\;\omega_s t+\omega_s \;cos\;\omega_s t)-V_0\frac{\omega_0^2}{\alpha^2+\omega_s^2}+V_0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$\;\;\;\;\;\;\;=V_0\frac{\omega_0^2e^{-\alpha t}}{\omega_s (\alpha^2+\omega_s^2)}\sqrt{\alpha^2+\omega_s^2}\left (\frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2+\omega_s^2}}sin\omega_s t+ \frac{\omega_s}{\sqrt{\alpha^2+\omega_s^2}}cos\omega_s t\right )-V_0\frac{\omega_0^2}{\alpha^2+\omega_s^2}+V_0$$
$$=V_0\frac{\omega_0^2 e^{-\alpha t}}{\omega_s \sqrt{\alpha^2+\omega_s^2}}cos(\omega_s t -tan^{-1}\frac{\alpha}{\omega_s})-V_0\frac{\omega_0^2}{\alpha^2+\omega_s^2}+V_0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (14)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
又由式子 (5)  可知
$$\alpha^2+\omega_s^2 =\omega_0^2$$ 
代入式子 (14) 可得
$$v_C(t) = V_0 \frac{\omega_0}{\omega_s }e^{-\alpha t}cos(\omega_s t-tan^{-1}\frac{\alpha}{\omega_s})$$


曲線圖

如圖二所示，為當 $V_0 = 10V$，$L = 4 H$，$R = 1\Omega$，$C=\frac{1}{4}F$ 時的 $i(t)$ 與 $v_C(t)$ 的曲線圖。


圖二   $i(t)$ 與 $v_C(t)$ 的曲線圖




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Reasons Behind Virtual Short and Virtual Open Circuits In Ideal Operational Amplifiers 採負回授的運算放大器 (Operational Amplifier，簡稱 OPA 或 OP-Amp) 可作為電壓訊號放大之用。而欲被放大的電壓輸入信號若輸入於 OPA 的負輸入端 ($v_-$) ，所形成的電壓放大器被稱為 反相 OPA 電壓放大器 (Inverting Operational Amplifier)；反之，若電壓輸入信號輸入於 OPA 的正輸入端  ($v_+$)，則被稱為 非反相 OPA 電壓放大器 (Non-inverting Operational Amplifier)。無論是反相 OPA 電壓放大器或是非反相 OPA 電壓放大器，其 OPA 的正負輸入端，在負回授方式連接的情況下皆存在有 虛短路 (Virtual Short) 與 虛斷路 (Virtual Open) 現象。 所謂虛短路指的是理想的 OPA 放大器在負回授的情況下，OPA 的正輸入端與負輸入端的電位差極小，小至接近於零的現象。因此，在簡化分析時常可將二者的電位視為相等，猶如兩端短路ㄧ般；而所謂虛斷路指的是 OPA 放大器在負回授的情況下，流入 OPA 本身輸入端的電流極小，小至接近於零，以致於可將 OPA 內部連接輸入電阻的兩輸入端視為斷路的現象。 以下將分別針對反相 OPA 電壓放大器以及非反相 OPA 電壓放大器，證明虛短路與虛斷路現象之存在。且上述的二現象若存在，則在推導反相與非反相 OPA 電壓放大器的增益公式時，過程將會容易許多。 反相 OPA 電壓放大器 虛短路與虛斷路現象 證明 如圖ㄧ所示，為一理想的反相 OPA 電壓放大器。運算放大器的等效電路則如圖二所示，其中的 $A_{vo}$ 為開迴路增益，且理想的 OPA 其 $A_{vo} \to \infty$ ( 實際的典型值約在 10 萬至 100 萬之間，相當的大 )。 圖ㄧ      反相 OPA 電壓放大器 圖二      運算放大器的等效電路 圖三     反相 OPA 電壓放大器等效電路 圖三所示為反相 OPA 電壓...
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從 0 積到 1，sqrt (x^2+1) 的積分 | 除法定則推導

作者： Danny Yang
Integral of Sqrt(x^2+1) from 0 to 1 求 $\int_0^1 \sqrt {x^2+1}\;dx$ 解： $$I=\int_0^1 \sqrt {x^2+1}\;dx$$ 利用 變數變換 (Change of Variable)，令 $$x=\tan \theta$$ 則 $$\theta = \tan^{-1}x$$ 且 $$dx=\sec^2 \theta\;d\theta$$ 代入 $I$，可得 $$I=\int_{\tan^{-1}0}^{\tan^{-1}1}\sqrt{\tan^2 \theta +1}\sec^2 \theta\;d\theta $$ $$\;\;= \int_0^{\frac{\pi}{4}}\sec^3 \theta\;d\theta\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ 已知 $d(\tan \theta)=\sec^2\theta\;d\theta$ ，所以式子 (1) 可改寫成 $$I =\int_0^{\frac{\pi}{4}}\sec \theta\;d(\tan\theta)$$ 接著將上式應用 分部積分 (Integration by Parts) 公式：  $\int u\;dv=uv-\int v\;du$ ，可得 $$I=\left. \sec \theta \tan \theta \right \rvert_0^{\frac{\pi}{4}}-\int_0^{\frac{\pi}{4}}\tan \theta\;d(\sec\theta)\;\;\; $$ 又已知 $d(\sec \theta)=\sec \theta\tan\theta\; d\theta$ ，所以 $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;I=\left [ \sec \left (\frac{\pi}{4}\right )\tan \left (\frac{\pi}{4}\right )-\sec (0)\tan (0) \right ]-\int_0^{\frac{\pi}{4}}\tan \theta \c...
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OP-Amp 方波產生電路 | OP-Amp 方波產生電路的數學分析

作者： Danny Yang
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Mathematical Analysis of  Square Wave Generator Using OP-Amp 如圖一所示，為一 OP-Amp 方波 (square wave) 產生電路。由於正回授的運算放大器，其輸出不是正飽和電壓 $+V_{sat}$，就是負飽和電壓 $-V_{sat}$。因此，在作 OPA 方波產生電路的數學分析前，必須先就一開始其輸出為 $+V_{sat}$ 或 $-V_{sat}$ 這兩種輸出情況來分別討論。 圖一     OPA 方波產生電路
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