以角度加法公式與尤拉公式推導 cos 2x 公式
$cosine$ 二倍角公式有幾種形式，首先
$$cos\;2x = cos^2x-sin^2x$$
是基本的形式，常見的其它形式的 $cosine$ 二倍角公式，可由其基本形式根據三角函數性質即可推導出。如下所示為其它常見的 $cosine$ 二倍角公式：
$$cos\;2x = 2\;cos^2x-1$$
$$cos\;2x = 1-2\;sin^2x$$
以及
$$cos\;2x = \frac{1-tan^2x}{1+tan^2x}$$
以下將分別以角度加法公式以及尤拉公式推導 $cosine$ 二倍角公式。
以角度加法公式推導
$cosine$ 的角度加法公式如下所示：
$$cos(A+B) = cos\;A\;cos\;B-sin\;A\;sin\;B$$
所以
$$cos\;2x = cos(x+x) = cos\;x\;cos\;x-sin\;x\;sin\;x = cos^2x-sin^2x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$
又已知
$$cos^2x+sin^2x = 1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$
則由式子 (2) 可知
$$sin^2x = 1-cos^2x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)$$
及
$$cos^2x = 1-sin^2x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(4)$$
將式子 (3) 以及式子 (4) 分別代入式子 (1) 就可得到
$$cos\;2x = 2 \;cos^2x-1$$
且
$$cos\;2x = 1-2\;sin^2x$$
又式子 (1) 也可改寫成
$$cos\;2x = cos^2x(1-\frac{sin^2x}{cos^2x})$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= cos^2\;x(1-tan^2x)$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{1}{sec^2x}(1-tan^2x)$$
$$=\frac{1-tan^2x}{1+tan^2x}$$
上面式子的推導使用到的性質之一是 $sec^2x = 1+tan^2x$ 等式。
以尤拉公式推導
已知尤拉公式 (Euler's formula)
$$e^{ix} = cos \;x+i \;sin\;x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(5)$$
且
$$e^{-ix} = cos \;x-i \;sin\;x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(6)$$
其中 $i = \sqrt{-1}$。
由式子 (5) 與式子 (6) 可得
$$cos \;x = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$$
亦即
$$cos \;2x = \frac{e^{i2x}+e^{-i2x}}{2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(7)$$
而由式子 (5) 可知
$$e^{i2x} = (e^{ix})^2 = (cos \;x+i\;sin\;x)^2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=cos^2x+2\;i\;sin\;x\;cos\;x+i^2\;sin^2x$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=cos^2\;x-sin^2\;x+2\;i\;sin\;x\;cos\;x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(8)$$
同理
$$e^{-i2x} = cos^2x-sin^2x-2\;i\;sin\;x\;cos\;x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(9)$$
將式子 (8) 與式子 (9) 代入式子 (7) 即可推導得
$$cos\;2x = cos^2x-sin^2x$$
$cos\;2x$ 其它形式的公式推導，如前所述，不再贅述。
曲線圖
$cos\;2x = 2\;cos^2x-1$ 關係圖
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