以角度加法公式與尤拉公式推導 sin 3x 公式
sine 的三倍角公式如下：
$$\sin 3x = 3\sin x-4\sin^3 x$$
以下將分別以角度加法公式以及尤拉公式推導 sine 的三倍角公式。
以角度加法公式推導
sine 的角度加法公式如下所示：
$$\sin (A+B) = \sin A\cos B+\cos A\sin B$$
所以
$$\sin 3x = \sin (2x+x) = \sin 2x\cos x+\cos 2x\sin x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$
又已知
$$\sin 2x = 2\sin x\cos x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$
$$\cos 2x = 1-2\sin^2 x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)$$
將式子 (2) 與 (3) 代入式子 (1) 可得
$$\sin 3x = (2\sin x\cos x)\cos x+(1-2\sin^2 x)\sin x\;\;\;\;\;\;\;$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=2\sin x\cos^2 x+\sin x-2\sin^3 x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(4)$$
又已知 $\cos^2 x = 1-\sin^2 x$，代入式子 (4)，即可得
$$\sin 3x = 2\sin x-2\sin^3 x+\sin x-2\sin^3 x\;$$
$$=3\sin x-4\sin^3 x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
以尤拉公式推導
已知尤拉公式 (Euler’s Formula)
$$e^{ix} = \cos x+i\sin x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(5)$$
$$e^{-ix} = \cos x-i\sin x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(6)$$
其中 $i = \sqrt{-1}$。
由式子 (5) 與 (6) 可得
$$\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$$
亦即
$$\sin 3x=\frac{e^{i3x}-e^{-i3x}}{2i}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(7)$$
而由式子 (5) 可知
$$e^{i3x} = (e^{ix})^3=(\cos x+i\sin x)^3\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\cos^3 x+3\cos^2 x(i\sin x)+3\cos x(i\sin x)^2+(i\sin x)^3$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=(\cos^3 x-3\cos x\sin^2 x)+i(3\cos^2 x\sin x-\sin^3 x)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(8)$$
同理
$$e^{-i3x} =(\cos^3 x-3\cos x\sin^2 x)-i(3\cos^2 x\sin x-\sin^3 x)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(9)$$
最後再將式子 (8) 與式子 (9) 代入式子 (7) 即可得
$$\sin 3x=3\cos^2 x\sin x-\sin^3 x\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;=3(1-\sin^2 x)\sin x-\sin^3 x$$
$$=3\sin x-4\sin^3 x\;\;\;\;\;\;$$
留言
張貼留言