以角度加法公式與尤拉公式推導 sin2x 公式

 

常見的 $sine$ 二倍角公式有兩種形式，首先第一種形式

$sin2x = 2sinxcosx$

是基本的形式，而如下所示為另一形式的 $sine$ 二倍角公式，則可由基本形式根據三角函數的性質即可推導出。

$sin2x=\frac{2\;tanx}{1+tan^2x}$

以下將分別以角度加法公式以及尤拉公式來推導 $sine$ 的二倍角公式。

以角度加法公式推導 $sin2x$ 公式

已知 $sine$ 的角度加法公式如下所示：

$sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB$

所以

$$sin2x = sin(x+x) = sinxcosx+cosxsinx = 2sinxcosx\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$

又式子 (1) 可改寫成

$$sin2x = cos^2x\;(\frac{2\;sinx}{cosx})\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$\;=\frac{1}{sec^2x}(2\;tanx)$$

$$=\frac{2\;tanx}{tan^2x+1}\;\;\;\;\;$$

上面式子的推導使用到的三角函數等式與性質有： $cos^2x = \frac{1}{sec^2x}$、$\frac{sinx}{cosx} = tanx$ 以及 $sec^2x = tan^2x+1$。

以尤拉公式推導

已知尤拉公式 (Euler's formula)

$$e^{ix} = cosx+isinx\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$

且

$$e^{-ix} = cosx-isinx\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)$$

其中 $i=\sqrt{-1}$。

由式子 (2) 與 (3) 可得

$$sinx = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

亦即

$$sin2x = \frac{e^{i2x}-e^{-i2x}}{2i}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(4)$$

而由式子 (2) 可知

$$e^{i2x} = (e^{ix})^2 = (cosx+isinx)^2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=cos^2x+2isinxcosx+i^2sin^2x$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=cos^2x-sin^2x+2isinxcosx\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(5)$$

同理

$$e^{-i2x} = cos^2x-sin^2x-2isinxcosx\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(6)$$

將式子 (5) 與式子 (6) 代入式子 (4) 即可推導得

$$sin2x = \frac{4isinxcosx}{2i}$$

$$\;\;\;\;\;\;\;=2sinxcosx$$

$sin2x$ 另一形式的公式推導，如前所述，就不再贅述。

應用範例：設 $cos10^\circ = k$，則 $sin200^\circ$ 為多少？

解：

應用 $sin2\theta=2sin\theta cos\theta$ 公式，可知

$$sin200^\circ = 2sin100^\circ cos100^\circ\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

又如圖一所示，可知 $sin100^\circ = cos10^\circ$，$cos100^\circ=-sin10^\circ$，所以

圖一  $sin100^\circ$ 等於 $cos10^\circ$ 的示意圖

 $$sin200^\circ=2(cos10^\circ)(-sin10^\circ)\;\;\;\;\;\;\;$$

又如圖二所示，可知 $sin10^\circ=\sqrt{1-k^2}$

圖二  $sin$ 與 $cos$ 關係圖

因此，

$$sin200^\circ=-2k \sqrt {1-k^2}$$

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