以角度加法公式與尤拉公式推導 sin 2x 公式

作者： Danny Yang
 
常見的 $sine$ 二倍角公式有兩種形式，首先第一種形式

$\sin 2x = 2\sin x\cos x$

是基本的形式，而如下所示為另一形式的 sine 二倍角公式，則可由基本形式根據三角函數的性質即可推導出。

$\sin 2x=\frac{2\tan x}{1+\tan^2 x}$

以下將分別以角度加法公式以及尤拉公式來推導 sine 的二倍角公式。


以角度加法公式推導


已知 sine 的角度加法公式如下所示：
$$\sin (A+B) = \sin A\cos B+\cos A\sin B$$
所以
$$\sin 2x = \sin (x+x) = \sin x \cos x+\cos x\sin x = 2\sin x\cos x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$
又式子 (1) 可改寫成
$$\sin 2x =2\sin x\frac{\cos^2 x}{\cos x}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$\;\;\;\;\;\;= \cos^2 x\;\left (\frac{2\sin x}{\cos x}\right )$$
$$\;\;\;=\frac{1}{\sec^2 x}(2\tan x)$$
$$=\frac{2\tan x}{\tan^2 x+1}\;\;\;$$

上面式子的推導使用到的三角函數等式與性質有： $\cos^2 x = \frac{1}{\sec^2 x}$、$\frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$ 以及 $\sec^2 x = \tan^2 x+1$。


以尤拉公式推導


已知尤拉公式 (Euler's formula)

$$e^{ix} = \cos x+i\sin x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$
且
$$e^{-ix} = \cos x-i\sin x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)$$
其中 $i=\sqrt{-1}$。

由式子 (2) 與 (3) 可得
$$\sin x = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
亦即
$$\sin 2x = \frac{e^{i2x}-e^{-i2x}}{2i}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(4)$$
而由式子 (2) 可知
$$e^{i2x} = (e^{ix})^2 = (\cos x+i\sin x)^2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\cos^2 x+2i\sin x\cos x+i^2 sin^2 x$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\cos^2 x-\sin^2 x+2i\sin x\cos x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(5)$$
同理
$$e^{-i2x} = \cos^2 x-\sin^2 x-2i\sin x\cos x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(6)$$
將式子 (5) 與式子 (6) 代入式子 (4) 即可推導得
$$\sin 2x = \frac{4i\sin x\cos x}{2i}$$
$$\;\;\;\;\;\;\;=2\sin x\cos x$$

$\sin 2x$ 另一形式的公式推導，如前所述，就不再贅述。



應用範例：設 $\cos 10^\circ = k$，則 $\sin 200^\circ$ 為多少？

解：

應用 $\sin 2\theta=2\sin\theta \cos\theta$ 公式，可知
$$\sin 200^\circ = 2\sin 100^\circ \cos 100^\circ\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
又如圖一所示，可知 $\sin 100^\circ = \cos 10^\circ$，$\cos 100^\circ=-\sin 10^\circ$，所以
$$\sin 200^\circ=2(\cos 10^\circ)(-\sin 10^\circ)=-2(\cos 10^\circ)(\sin 10^\circ)\;\;\;\;\;\;\;$$


圖一  $\sin 100^\circ$ 等於 $\cos 10^\circ$ 的示意圖

又如圖二所示，可知 $\cos 10^\circ = k$，且 $\sin 10^\circ=\sqrt{1-k^2}$ ，因此
$$\sin 200^\circ=-2k \sqrt {1-k^2}$$

圖二  $sin$ 與 $cos$ 關係圖







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