以角度加法公式與尤拉公式推導 cos3x 公式

 

$cosine$ 三倍角公式如下所示：

$cos3x = 4cos^3x-3cosx$

以下將分別以角度加法公式以及尤拉公式推導 $cosine$ 三倍角公式。

以角度加法公式推導 $cos3x$ 公式

$cos$ 的角度加法公式如下所示：

$cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB$

所以

$cos3x = cos(2x+x) = cos2xcosx-sin2xsinx$               (1)

已知

$cos2x = 2cos^2x-1$               (2)

$sin2x=2sinxcosx$               (3)

將式子 (2) 與 (3) 代入式子 (1) 可得

$cos3x = (2cos^2x-1)cosx-(2sinxcosx)sinx$

                                                       $=2cos^3x-cosx-2sin^2xcosx$               (4)

又已知  $sin^2x = 1 - cos^2x$ 代入式子 (4)，可得

$cos3x = 2cos^3x-cosx-2(1-cos^2x)cosx$

   $=4cos^3x-3cosx$                        

以尤拉公式推導

已知尤拉公式 (Eula’s Formula)

$e^{ix} = cosx+isinx$               (5)

 $e^{-ix} = cosx-isinx$              (6)

其中 $i = \sqrt{-1}$。

由式子 (5) 與 (6) 可得

$cosx = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$

亦即

$cos3x = \frac{e^{i3x}+e^{-i3x}}{2}$               (7)

而由式子 (5) 可知

$e^{3x} = (e^{ix})^3 = (cosx+isinx)^3$                                                                                   

               $=cos^3x+3cos^2x(isinx)+3cosx(isinx)^2+(isinx)^3$               

                                      $=(cos^3x-3cosxsin^2x)+i(3cos^2xsinx-sin^3x)$               (8)

同理

$e^{-3x} = (cos^3x-3cosxsin^2x)-i(3cos^2xsinx-sin^3x)$               (9)

最後再將式子 (8) 與式子 (9) 代入式子 (7) 即可得

$cos3x = cos^3x-3cosxsin^2x$

                      $=cos^3x-3cosx(1-cos^2x)$

                                                                       $=4cos^3x-3cosx$