以角度加法公式與尤拉公式推導 cos 3x 公式

cosine 的三倍角公式如下所示：

$$\cos 3x = 4\cos^3 x-3\cos x$$

以下將分別以角度加法公式以及尤拉公式推導 cosine 的三倍角公式。

以角度加法公式推導 $\cos 3x$ 公式

cosine 的角度加法公式如下所示：

$$\cos (A+B) = \cos A\cos B-\sin A\sin B$$

所以

$$\cos 3x = \cos (2x+x) = \cos 2x\cos x-\sin 2x\sin x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;  (1)$$

已知

$$\cos 2x = 2\cos^2 x-1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$

$$\sin 2x=2\sin x\cos x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)$$

將式子 (2) 與 (3) 代入式子 (1) 可得

$$\cos 3x = (2\cos^2 x-1)\cos x-(2\sin x\cos x)\sin x\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$=2\cos^3 x-\cos x-2\sin^2 x\cos x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (4)$$

又已知  $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ 代入式子 (4)，可得

$$\cos 3x = 2\cos^3 x-\cos x-2(1-\cos^2 x)\cos x$$

$$=4\cos^3 x-3\cos x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$                        

以尤拉公式推導 $\cos 3x$ 公式

已知尤拉公式 (Euler’s Formula)

$$e^{ix} = \cos x+i\sin x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (5)$$

$$e^{-ix} = \cos x-i\sin x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (6)$$

其中 $i = \sqrt{-1}$。

由式子 (5) 與 (6) 可得

$$\cos x = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$$

意即

$$\cos 3x = \frac{e^{i3x}+e^{-i3x}}{2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(7)$$

而由式子 (5) 可知

$$e^{3x} = (e^{ix})^3=(\cos x+i\sin x)^3\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$=\cos^3 x+3\cos^2 x(i\sin x)+3\cos x(i\sin x)^2+(i\sin x)^3\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\left (\cos^3 x-3\cos x\sin^2 x \right )+i \left (3\cos^2 x\sin x-\sin^3 x \right )\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(8)$$

同理

$$e^{-3x} = \left (\cos^3 x-3\cos x\sin^2 x \right )-i \left (3\cos^2 x\sin x-\sin^3 x \right )\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(9)$$

最後再將式子 (8) 與式子 (9) 代入式子 (7) 即可得

$$\cos 3x = \cos^3 x-3\cos x\sin^2 x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$\;\;=\cos^3 x-3\cos x \left (1-\cos^2 x \right )$$

$$=4\cos^3 x-3\cos x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$