眞趣盎然集

Derivation of  Complex Exponential Fourier Series  Coefficients for  Signals with Half-wave Symmetry   如果一週期性訊號 $x(t)$ 滿足下列條件 $$x(t \pm \frac{1}{2}T) = -x(t)$$ 其中的 $T$ 是該訊號的週期，則該訊號被稱為 半波對稱 (Half-wave Symmetry) 訊號。例如圖一所示，$x(t)$ 就是一個 半波對稱訊號。 圖一      半波對稱 訊號 任意一週期性波形 $x(t)$ 的 複數指數傅立葉級數 (Complex Exponential Fourier Series) 可表示為 $$x(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}C_ne^{jn\omega_{0}t} \; \; \; \;\; \;\; \;\; \;\; \; \; \;\;t_0 \le t \le t_0+T$$ 其中的 $C_n$ 為 $$C_n=\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}x(t)e^{-jn\omega_0t}dt$$ 又上式可改寫成 $$C_n=\frac{1}{T}\left [ \int_{t_0}^{t_0+\frac{T}{2}}x(t)e^{-jn\omega_0t}dt+\int_{t_0+\frac{T}{2}}^{t_0+T}x(t)e^{-jn\omega_0t}dt \right ]$$ 上式第二項的部分，令 $t^{'}=t-\frac{T}{2}$，則 $dt^{'}=dt$，代入上式第二項，可得 $$C_n=\frac{1}{T}\left [\int_{t_0}^{t_0+\frac{T}{2}}x(t)e^{-jn\omega_0t}dt+\int_{t_0}^{t_0+\frac{T}{2}}x(t^{'}+\frac{1}{2}T)e^{-jn\omega_0(t^{'}+\frac{T}{2})}dt^{'}\right ]$$ $$\;\;=\frac{1}{T}\left [\int_{t_0}^{t_0+\frac{T}{2}}x(t)e^{-jn\omega...