半波對稱訊號的複數指數傅立葉級數之係數推導

Derivation of Complex Exponential Fourier Series Coefficients for Signals with Half-wave Symmetry 

如果一週期性訊號 $x(t)$ 滿足下列條件

$$x(t \pm \frac{1}{2}T) = -x(t)$$

其中的 $T$ 是該訊號的週期，則該訊號被稱為半波對稱 (Half-wave Symmetry) 訊號。例如圖一所示，$x(t)$ 就是一個半波對稱訊號。

圖一    半波對稱訊號

任意一週期性波形 $x(t)$ 的複數指數傅立葉級數 (Complex Exponential Fourier Series) 可表示為

$$x(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}C_ne^{jn\omega_{0}t} \; \; \; \;\; \;\; \;\; \;\; \; \; \;\;t_0 \le t \le t_0+T$$

其中的 $C_n$ 為

$$C_n=\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}x(t)e^{-jn\omega_0t}dt$$

又上式可改寫成

$$C_n=\frac{1}{T}\left [ \int_{t_0}^{t_0+\frac{T}{2}}x(t)e^{-jn\omega_0t}dt+\int_{t_0+\frac{T}{2}}^{t_0+T}x(t)e^{-jn\omega_0t}dt \right ]$$

上式第二項的部分，令 $t^{'}=t-\frac{T}{2}$，則 $dt^{'}=dt$，代入上式第二項，可得

$$C_n=\frac{1}{T}\left [\int_{t_0}^{t_0+\frac{T}{2}}x(t)e^{-jn\omega_0t}dt+\int_{t_0}^{t_0+\frac{T}{2}}x(t^{'}+\frac{1}{2}T)e^{-jn\omega_0(t^{'}+\frac{T}{2})}dt^{'}\right ]$$

$$\;\;=\frac{1}{T}\left [\int_{t_0}^{t_0+\frac{T}{2}}x(t)e^{-jn\omega_0t}dt+\int_{t_0}^{t_0+\frac{T}{2}}x(t+\frac{1}{2}T)e^{-jn\omega_0(t+\frac{T}{2})}dt\right ]$$

$$=\frac{1}{T}\left [ \int_{t_0}^{t_0+\frac{T}{2}}x(t)e^{-jn\omega_0t}dt+\int_{t_0}^{t_0+\frac{T}{2}}-x(t)e^{-jn\omega_0t}e^{-jn\omega_0\frac{T}{2}}dt \right]$$

已知 $\omega_0 \frac{T}{2}= \frac{2\pi}{2}=\pi$，則上式第二項中的

$$e^{-jn\omega_0\frac{T}{2}}=e^{-jn\pi}=cos(n\pi)-jsin(n\pi)=(-1)^n$$

意即

$$C_n=\frac{1}{T}\left [ \int_{t_0}^{t_0+\frac{T}{2}}x(t)e^{-jn\omega_0t}dt+\int_{t_0}^{t_0+\frac{T}{2}}-x(t)e^{-jn\omega_0t}(-1)^ndt \right]$$

$$=\frac{1}{T}[1-(-1)^n]\int_{t_0}^{t_0+\frac{T}{2}}x(t)e^{-jn\omega_0t}dt \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

且可知 $C_n = 0$， 當 $n=0$，$\pm 2$，$\pm 4$，$......$。