為什麼理想的 OPA 電壓放大器有虛短路與虛斷路現象 | OPA 電壓放大器增益推導

作者： Danny Yang

Reasons Behind Virtual Short and Virtual Open Circuits In Ideal Operational Amplifiers

採負回授的運算放大器 (Operational Amplifier，簡稱 OPA 或 OP-Amp) 可作為電壓訊號放大之用。而欲被放大的電壓輸入信號若輸入於 OPA 的負輸入端 ($v_-$) ，所形成的電壓放大器被稱為反相 OPA 電壓放大器 (Inverting Operational Amplifier)；反之，若電壓輸入信號輸入於 OPA 的正輸入端  ($v_+$)，則被稱為非反相 OPA 電壓放大器 (Non-inverting Operational Amplifier)。無論是反相 OPA 電壓放大器或是非反相 OPA 電壓放大器，其 OPA 的正負輸入端，在負回授方式連接的情況下皆存在有虛短路 (Virtual Short) 與虛斷路 (Virtual Open) 現象。

所謂虛短路指的是理想的 OPA 放大器在負回授的情況下，OPA 的正輸入端與負輸入端的電位差極小，小至接近於零的現象。因此，在簡化分析時常可將二者的電位視為相等，猶如兩端短路ㄧ般；而所謂虛斷路指的是 OPA 放大器在負回授的情況下，流入 OPA 本身輸入端的電流極小，小至接近於零，以致於可將 OPA 內部連接輸入電阻的兩輸入端視為斷路的現象。

以下將分別針對反相 OPA 電壓放大器以及非反相 OPA 電壓放大器，證明虛短路與虛斷路現象之存在。且上述的二現象若存在，則在推導反相與非反相 OPA 電壓放大器的增益公式時，過程將會容易許多。


反相 OPA 電壓放大器虛短路與虛斷路現象證明

如圖ㄧ所示，為一理想的反相 OPA 電壓放大器。運算放大器的等效電路則如圖二所示，其中的 $A_{vo}$ 為開迴路增益，且理想的 OPA 其 $A_{vo} \to \infty$ ( 實際的典型值約在 10 萬至 100 萬之間，相當的大 )。

反相 OPA 電壓放大器

圖ㄧ    反相 OPA 電壓放大器



運算放大器的等效電路
圖二    運算放大器的等效電路



反相 OPA 電壓放大器等效電路
圖三    反相 OPA 電壓放大器等效電路


圖三所示為反相 OPA 電壓放大器的等效電路，應用由克希荷夫電流定律 (KCL) 可知
$$i_1 =  i_2 + i_3$$
即
$$\frac{v_i - (-v_d)}{R_1} = \frac{-v_d - v_o}{R_f} + \frac{-v_d}{R_{in}}$$
上式整理得
$$v_o = -v_d (\frac{R_f}{R_1}+\frac{R_f}{R_{in} }+ 1) - \frac{R_f}{R_1}v_i\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$
又 
$$i_2 = i_4$$
將上式應用歐姆定律 (Ohm's Law)，可得
$$\frac{-v_d - v_o}{R_f} = \frac{v_o - A_{vo}v_d}{R_o}$$ 
上式整理得
$$v_d = \frac{(R_o + R_f)v_o}{  A_{vo}R_f - R_o}$$
若 $A_{vo} \to \infty$，則 $v_d \to 0$，亦即 OPA 的 $v_+ \approx v_-$，故虛短路現象存在。且由式子 (1) 可知 $v_o \to -v_i \frac{R_f}{R_i}$，即
$$A_v = \frac{v_0}{v_i}  \to -\frac{R_f}{R_i}$$
又  $i_3 = \frac{-v_d}{Rin}  \to 0$，所以虛斷路現象也存在。


應用虛短路與虛斷路現象推導反相 OPA 電壓放大器增益

如圖四所示，已知 OPA 電壓放大器存在有虛短路與虛斷路現象後，其電壓增益表示式的推導就容易多了。

反相 OPA 電壓放大器
圖四    反相 OPA 電壓放大器

從圖四可知，因虛短路現象存在，所以 OPA 兩輸入端 $v_- = v+ = 0$。且虛斷路現象存在，因此 $i_2 = 0$。

亦即
$$i_1 = i_3$$
$$\frac{v_i - 0}{R_1} = \frac{0 - v_o}{R_f}$$
上式整理得
$$A_v = -\frac{R_f}{R_1}$$


非反相 OPA 電壓放大器虛短路與虛斷路現象證明

如圖五所示為一非反相 OPA 電壓放大器，圖六則是其等效電路圖。


非反相 OPA 電壓放大器
圖五    非反相 OPA 電壓放大器


非反相 OPA 電壓放大器等效電路
圖六    非反相 OPA 電壓放大器等效電路


如圖六所示，
$$i_1 = i_2 + i_3$$
$$\frac {0 - (v_i - v_d)}{R_1} = \frac{v_i - v_d - v_o}{R_f} + \frac{-v_d}{R_{in}}$$
上式整理可得
$$v_o = -v_d (1+\frac{R_f}{R_{in}}) + (1+\frac{R_f}{R_1})v_i\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$
又 
$$i_2 = i_4$$
所以
$$\frac{v_i - v_d - v_o}{R_f} = \frac{v_o - A_{vo}v_d}{R_o}$$
上式整理可得
$$v_d = \frac{v_o (R_f + R_o) - v_i R_o}{A_{vo}R_f - R_o}$$
若 $A_{vo} \to \infty$，則 $v_d \to 0$，亦即 OPA 的 $v_+ \approx v_-$，故虛短路現象存在。且式子 (2) 可知 $v_o \to v_i (1+ \frac{R_f}{R_1})$，即
$$A_v = \frac{v_0}{v_i}  \to 1+\frac{R_f}{R_1}$$
又 $i_3 = \frac{- v_d}{R_{in}} \to 0$，所以虛斷路現象也存在。


應用虛短路與虛斷路現象推導非反相 OPA 電壓放大器增益


圖七    非反相 OPA 電壓放大器



由圖七所示的非反相 OPA 電壓放大器可知，若虛短路現象存在，則 $v_+ = v_- = v_i$。且若虛斷路現象存在則 $i_2 = 0$。

因此
$$i_1 = i_3$$
$$\frac {0 - v_i}{R_1} = \frac{v_i - v_o}{R_f}$$
上式整理可得
$$A_v = \frac{v_o}{v_i}= 1 + \frac{R_f}{R_1}$$



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