眞趣盎然集

Integral of (ln x)^2 dx 求 $\int (\ln x)^2dx$ 解： 令  $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;I=\int (\ln x)^2dx\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ 且 $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u=\ln x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$ 則由 (2) 可知 $$du=\frac{dx}{x}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)$$ 以及 $$e^u=e^{\ln x}=x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(4)$$ 接著將上式 $x=e^u$ 代入 (3)，可得 $$du=\frac{dx}{e^u}$$ 即 $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;dx=e^udu\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(5)$$ 因此，將 (2) 與 (5) 代入 (1) 可知 $$I=\int u^2e^udu\;\;\;$$ $$=\int u^2d(e^u)$$ 利用 分部積分 (Integration by Parts) 公式： $\int x\;dy=xy-\int y\; dx$ ，上式可改寫成 $$I=u^2e^u-\int e^u\;2u\;du\;\;$$ $$=u^2e^u-2\int u\;d(e^u)$$ 上式第二項的部分再應用一次分部積分，則上式還可以改寫成 $$I=u^2e^u-2\left [ue^u-\int e^udu \right ]$$ $$\;=u^2e^u-2ue^u+2\int e^udu$$ $$=u^2e^u-2ue^u+2e^u+C$$ 最後，將 (2) 代回上式，即可得 $$I=(\ln x)^2-2x\;\ln x+2x+C$$

  Schmitt Trigger Inverter Astable Multivibrator |  Derivation of Output Oscillation Frequency 如圖一所示，為一 施密特觸發反相閘 (Schmitt Triger Inverter Gate)  與一個電阻加上一個電容所組成的 無穩態多諧振盪器 。該電路一接上直流電源後，就能持續振盪並輸出矩形波。以下我們將說明其動作原理，並推導其輸出振盪頻率。 圖一   施密特觸發反相閘組成的無穩態多諧振盪器 動作原理 當施密特觸發反相閘的輸入端電壓小於其 下臨界電壓 (Lower Threshold Voltage) $V_L$ 時，該閘會輸出高電位 $V_{OH}$；反之，當其 輸入端電壓大於其 上臨界電壓 (Upper Threshold Voltage) $V_U$ 時，則會輸出低電位 $V_{OL}$。而當輸入電壓介於 $V_L$  與 $V_U$  之間時，則輸出狀態維持不變。常見的 施密特觸發反相閘 IC 有 74LS14 以及 CD40106。 當電源打開瞬間，電容 $C$ 可視為短路，因電容的負端接地，所以該瞬間 施密特觸發反相閘的輸入電壓約為 $0\;V$ ，明顯小於 $V_L$，故閘輸出 $V_{OH}$。而很快地當電源穩定，電容不再有短路現象後，電容 $C$ 將開始被充電，如圖二所示。接著當電容電壓 $v_C$ 因充電增加至大於 閘的 $V_U$ 瞬間，閘的輸出會由高電位 $V_{OH}$ 轉態成低電位 $V_{OL}$。 圖二   電容充電 當上述的 $v_C \gt V_U$，且 $v_o=V_{OL}$ 的狀態發生時 ( 注意 $V_U \gt V_{OL}$)，電容反過來開始放電，如圖三所示。當電容電壓因放電下降至小於 $V_L$ 瞬間，閘的輸出會由低態 $V_{OL}$ 轉態成高態 $V_{OH}$。接著，電容又開始被充電，如此周而復始，因而 密特觸發反相閘 持續輸出矩形波。此無穩態多諧振盪器的波形圖，如圖四所示。 圖三   電容放電 圖四   $v_c$  與  $v_o$ 波形圖 輸出頻率推導 電容充電時間 $t_1$ 如...

  Approximating Roots of Numbers Using Differentials | Standard Linear Approximation 若一非線性函數在某特定點的值易求得，則該特定點附近其它不易求得值的點之值，可利用該特定點的 線性化 (Linearization) 函數找到其近似值。而數的次方根近似值，常可利用此方法輕易找到。 若 $y=f(x)$ 在 $x=a$ 處為可微，則 $f(x) \approx f(a)+f^{'}(a)(x-a)$ 其中  $P(x)=f(a)+f^{'}(a)(x-a)$ 稱為 $f(x)$ 在 $a$ 點的線性化函數 如圖一所示，$f(x)$  在 $a$ 點的線性化函數為 $$P(x)=f(a)+f^{'}(a)(x-a)$$ 如果 $x$ 沒有離 $a$ 太遠，則可知 $$f(x) \approx P(x)=f(a)+f^{'}(a)(x-a)$$ 誤差將不會太大。 圖一  f(x) 與 f(x) 在 a 點的線性化函數關係圖 在應用上，數的次方根近似值，常可利用此方法找到。其方法如下： 首先如圖二所示的 $f(x)=\sqrt{1+x}$ 的函數圖可知：如果我們現在想找出 $\sqrt {1.3}$ 的近似值，等同於要找出 $f(0.3)=\sqrt {1+0.3}$ 的近似值。而且最靠近點 $0.3$ 且容易找到值的點應是 $0$，因為明顯可知 $$f(0) =1$$ 又 $$f^{'}(x)=\frac{1}{2\sqrt {1+x}}$$ 即 $$f^{'}(0)=\frac{1}{2}$$ 因此，$f(x)$ 在 $x=0$ 點的 線性化函數為  $$P(x)=f(0)+f^{'}(0)(x-0)=1+\frac{x}{2}$$ 所以 $$\sqrt {1.3}=f(0.3) \approx P(0.3)=1+\frac{0.3}{2}=1.15$$ 而 $\sqrt {1.3}$ 用計算機算出來的值為 $1.14$。 圖二   $y=\sqrt{1+x}$  與其在 $x=0$ 的線性函數圖 範例一： 利用微分 (Differentials)，找出 $\sqrt[3]{1001}$ 的近似值 解： 令 $$f(...

General Solutions of Vector Inner and Outer Product Equations 如下的向量內積向量等式， $c$  為純量 (Scalar)，$\mathbf A$ 為一已知向量，$\mathbf X$ 為未知向量，且 $\mathbf B$ 為任一垂直 $\mathbf A$ 的向量 ( 即 $\mathbf A \cdot \mathbf B =0)$，則該等式與其一般解如下： $1.\;\;c = \mathbf A \cdot \mathbf X$ $\;\;\;\;$則 $\;\;\;\;\mathbf X = \frac{c\; \mathbf A}{\mathbf A \cdot \mathbf A}+\mathbf B$ 推導： 根據公式， $\mathbf X$ 在 $\mathbf A$ 上的 正射影 (Orthogonal Projection)  $$\mathbf D=Proj_{\mathbf  A}\mathbf  X=\frac{\mathbf  X \cdot \mathbf A}{\mathbf A \cdot \mathbf A}\mathbf A$$ 又已知 $\mathbf B$ 為垂直於 $\mathbf A$ 的任一向量，所以 $$\mathbf X=\mathbf D+\mathbf B=\frac{\mathbf  X \cdot \mathbf A}{\mathbf A \cdot \mathbf A}\mathbf A+\mathbf B=\frac{c\;\mathbf A}{\mathbf A \cdot \mathbf A}+\mathbf B$$ ■ 如下的向量外積向量等式，$\mathbf A$ 與 $\mathbf C$ 為已知的向量，$\mathbf C$ 為一未知的向量，且 $k$ 為任一純量，則該等式及其一般解如下： 2.$\;\;\mathbf C=\mathbf A \times \mathbf X$ $\;\;\;\;\;$則 $\;\;\;\;\;\mathbf X=\frac {\mathbf C \times \mathbf A}{\mathbf A \cdot \mathbf A...

Current Analysis of A Series RC Circuit Driven by A Sinusoidal Voltage Input 如圖一所示，為一正弦電動勢 $RC$ 串聯電路，其電流方程式 $i(t)$ 的推導，是先應用 克希荷夫電壓定律 $(KVL)$ 後，將出現的 線性一階微分方程 (Linear First-Order Differential Equation) 進行求解所得到的。其推導的過程說明如下： 圖ㄧ    正弦電動勢 RC 串聯電路 設迴路電流為 $i$，則電阻 $R$ 的電壓降 $v_R=Ri$，且電容 $C$ 的電壓降 $v_C=\frac{1}{C}\int i\;dt$。 因此，根據 $KVL$，可知 $$Ri+\frac{1}{C}\int i\;dt=E\sin \omega t$$ 上式兩邊對 $t$ 微分，可得 $$R\frac{di}{dt}+\frac{i}{C}=E\;\omega \cos \omega t$$ 上式兩邊同除 $R$，可得如下的 非齊次 的 (nonhomogeneous) 線性一階微分方程  ： $$\frac {di}{dt}+\frac{i}{RC}=\frac{E\;\omega}{R}\cos  \omega t\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ 式子 (1) 的積分因子 (Integrating Factor) 為 $$F(t)=e^{h(t)}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;其中\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;h(t)=\int \frac{1}{RC} dt$$ 將式子 (1) 兩邊同乘 $F(t)$，可得 $$e^{\frac{t}{RC}}\frac{di}{dt}+\frac{e^{\frac{t}{RC}}}{RC} i=e^{\frac{t}{RC}}\frac {E\;\omega}{R}\cos  \omega t $$ 即 $$\frac{d(e^{\frac{t}{RC}}i)}{dt}=e^{\frac{t}{RC}}\frac {E\;\omega}{R}\cos \omega...

Current Analysis of A Series RL Circuit  Driven by A Sinusoidal Voltage Input 如圖一所示，為一正弦電動勢 RL 串聯電路，其電流方程式 $i(t)$ 的推導，是先應用 克希荷夫電壓定律 $(KVL)$ 後，將出現的 線性一階微分方程 (Linear First-Order Differential Equation) 進行求解所得到的。其推導的過程說明如下： 圖一    正弦輸入的 RL 串聯電路 設迴路電流為 $i$，則電阻 $R$ 的電壓降 $v_R=Ri$，且電感 $L$ 的電壓降 $v_L=L \frac{di}{dt}$。 因此，根據 $KVL$，可知 $$L\frac{di}{dt}+Ri=E\sin \omega t$$ 上式兩邊同除 $L$，可得如下的 非齊次 的 (nonhomogeneous)  線性一階微分方程 ： $$\frac {di}{dt}+\frac{R}{L}i=\frac{E}{L}\sin  \omega t\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ 令 $\frac {R}{L}=\alpha $，則式子 (1) 的積分因子 (Integrating Factor) 為 $$F(t)=e^{h(t)}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;其中\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;h(t)=\int \alpha dt$$ 將式子 (1) 兩邊同乘 $F(t)$，可得 $$e^{\alpha t}\frac{di}{dt}+e^{\alpha t}\alpha \; i=e^{\alpha t}\frac {E}{L}\sin \omega t $$ $$\frac{d(e^{\alpha t}i)}{dt}=e^{\alpha t}\frac {E}{L}\sin \omega t $$ 即 $$e^{\alpha t}i=\frac{E}{L}\int e^{\alpha t}\sin \omega t\;dt$$ 整理得 $$i=e^{-\alpha t}\frac{E}{L}\int e^{\a...