正弦電動勢 RL 串聯電路的電流分析

Current Analysis of A Series RL Circuit Driven by A Sinusoidal Voltage Input

如圖一所示，為一正弦電動勢 RL 串聯電路。

圖一  正弦輸入的 RL 串聯電路

設迴路電流為 $i$，則電阻 $R$ 的電壓降 $v_R=Ri$，且電感 $L$ 的電壓降 $v_L=L \frac{di}{dt}$。

因此，根據 $KVL$，可知

$$L\frac{di}{dt}+Ri=E\;sin\;\omega t$$

上式兩邊同除 $L$，可得如下的非齊次的 (nonhomogeneous) 線性一階微分方程 (Linear First-Order Differential Equation)：

$$\frac {di}{dt}+\frac{R}{L}i=\frac{E}{L}sin\; \omega t\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$

令 $\frac {R}{L}=\alpha $，則式子 (1) 的積分因子 (Integrating Factor) 為

$$F(t)=e^{h(t)}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;其中\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;h(t)=\int \alpha dt$$

將式子 (1) 兩邊同乘 $F(t)$，可得

$$e^{\alpha t}\frac{di}{dt}+e^{\alpha t}\alpha \; i=e^{\alpha t}\frac {E}{L}sin \;\omega t $$

$$\frac{d(e^{\alpha t}i)}{dt}=e^{\alpha t}\frac {E}{L}sin\;\omega t $$

即

$$e^{\alpha t}i=\frac{E}{L}\int e^{\alpha t}sin\;\omega t\;dt$$

整理得

$$i=e^{-\alpha t}\frac{E}{L}\int e^{\alpha t}sin\;\omega t\;dt\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$

利用分部積分 (Integration by Parts) 公式 $\int m\;dn=mn-\int n\;dm$，式子 (2) 中的

$$\int e^{\alpha t}sin\omega t\;dt = \frac{1}{\alpha}\int sin \;\omega t\;d(e^{\alpha t})\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$=\frac{1}{\alpha}\left [ sin\;\omega t\;e^{\alpha t}-\int e^{\alpha t}d(sin\;\omega t)\right ]\;\;\;\;\;\;$$

$$=\frac{1}{\alpha}\left [ sin\;\omega t\;e^{\alpha t}-\omega \int e^{\alpha t}cos\;\omega t\;dt\right ]\;\;\;\;$$

$$=\frac {1}{\alpha}sin\;\omega t\;e^{\alpha t}-\frac{\omega}{\alpha^2 t}\int cos\;\omega t\;d(e^{\alpha t})\;\;$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac {1}{\alpha}sin\;\omega t\;e^{\alpha t}-\frac{\omega}{\alpha^2}cos\;\omega t\;e^{\alpha t}-\frac{\omega^2}{\alpha^2}\int e^{\alpha t}sin\;\omega t\;dt$$

上式可改寫成

$$\left ( 1+\frac{\omega^2}{\alpha^2}\right )\int e^{\alpha t}sin\;\omega t\;dt =\frac {1}{\alpha}sin\;\omega t\;e^{\alpha t}-\frac{\omega}{\alpha^2 t}cos\;\omega t\;e^{\alpha t}+K\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(K\;為常數)$$

意即

$$\int e^{\alpha t}sin\;\omega t\;dt =\frac{\alpha}{\alpha^2 + \omega^2}sin\;\omega t\;e^{\alpha t}-\frac{\omega}{\alpha^2 + \omega^2}cos\;\omega t\;e^{\alpha t}+\frac{K\alpha^2}{\alpha^2+\omega^2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)$$

將式子 (3) 代入式子 (2)，可得

$$i=\frac{E}{L}\;\frac{\alpha}{\alpha^2+\omega^2}\;sin\;\omega t-\frac{E}{L}\;\frac{\omega}{\alpha^2+\omega^2}\;cos\;\omega t+\frac{KE\alpha^2}{L(\alpha^2+\omega^2)}\;e^{-\alpha t}$$

令常數 $C=\frac{KE\alpha^2}{L(\alpha^2+\omega^2)}$ 且 $\alpha = \frac{R}{L}$ 代入上式，可知

$$i=E\frac{R}{R^2+\omega^2 L^2}sin\;\omega t-E\frac{\omega L}{R^2+\omega^2 L^2}cos\;\omega t+Ce^{-\alpha t}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$=\frac{E}{R^2+\omega^2L^2}(R\;sin\;\omega t-\omega L\;cos\;\omega t)+Ce^{-\alpha t}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{E}{R^2+\omega^2L^2}\sqrt {R^2+\omega^2L^2}\left ( \frac{R}{\sqrt {R^2+\omega^2L^2}}sin\;\omega t-\frac{\omega L}{\sqrt {R^2+\omega^2L^2}}cos\;\omega t \right )+Ce^{-\alpha t}$$

如圖二所示，令 $cos\theta =\frac{R}{\sqrt {R^2+\omega^2L^2}}$，$sin\theta =\frac{\omega L}{\sqrt {R^2+\omega^2L^2}}$，則上式可改寫成

$$i=\frac{E}{\sqrt {R^2+\omega^2L^2}}\left ( sin\;\omega t\;sin\;\theta-cos\;\omega t\;cos\;\theta \right )+Ce^{-(\frac{R}{L})t}$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{E}{\sqrt {R^2+\omega^2L^2}}sin(\omega t-\theta)+Ce^{-(\frac{R}{L})t}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\theta=arc\;tan\;\frac{\omega L}{R}$$

圖二   $cos\theta =\frac{R}{\sqrt {R^2+\omega^2L^2}}$ 的直角三角形

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