e^(2x)sin 3x 的積分 | 分部積分公式 | 分部積分公式推導

Integral of e^(2x)sin 3x

求 $\int e^{2x}\sin 3x\;dx$

解：

$$ \int e^{2x}\sin 3x\;dx=-\frac{1}{3}\left [\int e^{2x}d(\cos 3x)\right ] \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$=-\frac{1}{3}\left [e^{2x}\cos 3x - \int \cos 3x\;d(e^{2x})\right ]\;\;\;\;\;\;$$

$$=-\frac{1}{3}e^{2x}\cos 3x +\frac{1}{3} \int \cos 3x \cdot 2 \cdot e^{2x}dx$$

$$=-\frac{1}{3}e^{2x}\cos 3x +\frac{2}{9} \int e^{2x}d(\sin 3x)\;\;\;\;\;\;\;$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=-\frac{1}{3}e^{2x}\cos 3x +\frac{2}{9}e^{2x}\sin 3x-\frac{2}{9}\int \sin 3x \;d(e^{2x})$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=-\frac{1}{3}e^{2x}\cos 3x +\frac{2}{9}e^{2x}\sin 3x- \frac{4}{9} \int \sin 3x \cdot e^{2x} dx$$

所以，

$$\frac{13}{9}\int e^{2x}\sin 3x\;dx = -\frac {1}{3}e^{2x}\cos 3x + \frac{2}{9}e^{2x}\sin 3x + C^{'}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;C^{'} \in R$$

即

$$\int e^{2x}\sin 3x\;dx =-\frac{3}{13}e^{2x}\cos 3x+\frac{2}{13}e^{2x}\sin 3x + C\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;C \in R$$ 

■

上面的解題過程中，有應用到不定積分的分部積分 (Integration by parts) 公式，其形式與推導如下：

$\int u\;dv = uv - \int v\;du$

推導：

假設 $u(x)$ 與 $v(x)$ 都有連續的導函數，且 $u(x)v(x)$ 可微，則

$$(uv) ^{'}= u^{'}v+uv^{'}$$

對上式等號兩邊積分，可得

$$\int (uv)^{'}\;dx = \int (u^{'}v+uv^{'})dx$$

又根據積分的線性性質，上式可以改寫成

$$\int (uv)^{'}dx = \int u^{'}v\;dx + \int uv^{'}\;dx$$

即

$$\int d(uv) = \int v\;du + \int u\;dv$$

可知

$$uv = \int v\;du + \int u\;dv$$

最後可得

$$\int u\;dv = uv - \int v\;du$$

■

所以上面的解題過程中

$$\int e^{2x}d(\cos 3x) = e^{2x}\cos 3x-\int \cos 3x\;d(e^{2x})$$

且

$$\int e^{2x}d(\sin 3x) = e^{2x}\sin 3x-\int \sin 3x\;d(e^{2x})$$