從 1 積到 4 ，[(4+6u)/sqrt(u)] du 的積分 | 變數變換法的公式及證明

Integral from 1 to 4 of  [(4+6u)/sqrt(u)] du

求解 $\int_1^{4} \left ( \frac{4+6u}{\sqrt u}\right)du$ 

解：

令 

$$v = \sqrt u$$

上式等號兩邊平方可得

$$u =v^2$$

上式等號兩邊微分可得

$$du=2v\;dv$$

$$\therefore\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \int_1^{4} \left ( \frac{4+6u}{\sqrt u}\right)du = \int_1^{2} \left(\frac{4+6v^2}{v}\right)2v\;dv\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$=\int_1^2(8+12v^2)dv$$

$$=\left.(8v+4v^3)\right\rvert_1^2\;\;\;\;\;\;$$

$$\;\;\;\;\;=(16+32)-(8+4)$$

$$=36\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

上面的解法有運用到變數變換法 (integration by substitution) ，可將原本較為複雜的被積分函數轉換為較為容易積分的函數型式以方便求解。變數變換法的公式及證明如下：

$\int_a^b f((g(x))g^{'}(x)dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)du$

[證明]

假設 $F$ 為 $f$ 的反導函數 (antiderivative)，即 $F^{'} = f$，則根據鏈鎖律 (chain rule)，

$$F(g(x))^{'} = F^{'}(g(x))g^{'}(x)$$

$$=f(g(x))g^{'}(x)$$

因此，

$$\int_a^b f((g(x))g^{'}(x)dx = \int_a^b F(g(x))^{'}dx$$

$$=F(g(b))-F(g(a))$$

$$=\int_{g(a)}^{g(b)}f(u)du$$

得證。

意即在運用變數變換法時，我們可令

$$g(x)=u\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$

則

$$g^{'}(x)dx=du\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$

將式子 (1) 與 (2) 代入原被積分函數，就可以將原被積分函數轉換成較易積分的形式。