眞趣盎然集

  Proofs of Triple and  Quadruple  Vector Products 向量三重積 (Vector Triple Product) 的等式如下： $1.\;\; \mathbf A \times (\mathbf B \times \mathbf C)=(\mathbf A \cdot \mathbf C)\mathbf B-(\mathbf A \cdot   \mathbf B)\mathbf C$ 證明： 設  $$\mathbf A=a_1 \;\mathbf i + a_2 \;\mathbf j + a_3\; \mathbf k$$ $$\mathbf B=b_1\; \mathbf i + b_2 \;\mathbf j + b_3 \;\mathbf k$$ $$\mathbf C=c_1 \;\mathbf i + c_2 \;\mathbf j + c_3 \;\mathbf k$$ 則應用外積 (Cross Product) 定義，可知 $$\mathbf B \times \mathbf C = \left |\begin{matrix}\mathbf i & \mathbf j & \mathbf  k \\b_1& b_2 & b_3\\ c_1 & c_2 & c_3 \end{matrix}\right  | \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\left | \begin{matrix}b_2 & b_3 \\ c_2 & c_3 \end {matrix} \right | \;\mathbf i - \left | \begin{matrix}b_1 & b_3 \\ c_1 & c_3 \end {matrix} \right | \;\mathbf j + \left | \begi...

Differentials of the Inverse Trigonometric Functions 如下所示為反三角函數的微分公式，及其延伸的積分公式。下面我們將分別說明其推導過程以及相關例題的解法： $d(\sin^{-1} x)=\frac{dx}{\sqrt {1-x^2}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; -1<x<1$ $\int \frac{dx}{\sqrt {1-x^2}}=\sin^{-1} x+C\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x^2 < 1$ 推導： 已知  $$\sin (\sin^{-1}x)=x$$ 上式兩邊微分，因為 $d(\sin u)=\cos u\;du$ ，可得 $$\cos (\sin^{-1} x)\;d(\sin^{-1} x)=dx$$ 即 $$d(\sin^{-1} x)=\frac{dx}{\cos (\sin^{-1} x)}=\frac{dx}{\sqrt{1-\sin^2 (\sin^{-1} x)}}=\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-1<x<1$$ 兩邊積分可得 $$\int \frac{dx}{\sqrt {1-x^2}}=\sin^{-1} x+C \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x^2<1$$ 範例ㄧ： $y=\sin^{-1} (\frac{x}{2})$，求 $dy/dx$ 解： 直接代公式： $$dy=\frac{d(\frac {x}{2})}{\sqrt {1-(\frac{x}{2})^2}}=\frac{dx}{2 \sqrt {1-(\frac{x}{2})^2}}=\frac{dx}{\sqrt {4-x^2}}$$ 因此 $$\frac{dy}{dx}=\frac {1}{\sqrt {4-x^2}}$$ 但如果不直接代公式求解，已知 $$y=\sin^{-1} (\frac{x}{2})$$ 則 $$\sin y=\frac{x}{2}$$ 上式兩邊取導數 (Derivative)，可得 $$\cos y\left (\frac{dy}{dx}\right )=\frac...

Synchronous 3-bit Up/Down Counter Design 二進位的同步計數器的設計步驟為： 一、列出計數順序的 狀態圖 (State Diagram) 二、決定正反器的種類與數目 三、列出同步計數器的 狀態激勵表 (State Excitation Table) 四、以 卡諾圖 (K-map) 化簡狀態激勵表後，找出個正反器輸入的邏輯表示式 五、畫出邏輯電路。 接下來，我們將依照上面的步驟，說明如何設計可上下數的三位元同步計數器。 狀態圖 狀態圖用是來說明同步計數器的計數輸出的變化，如圖一所示為 可控制上下數的三位元同步計數器的狀態圖，其中當控制信號 $c=0$ 時， 三位元同步計數器執行上數，其輸出端 $Q_2Q_1Q_0$ 的計數順序為 000 $\rightarrow$ 001 $\rightarrow$ 010 $\rightarrow$ 011 $\rightarrow$ 100 $\rightarrow$ 101 $\rightarrow$ 110 $\rightarrow$ 111 $\rightarrow$ 000；而  $c=1$ 時，則執行下數，其輸出端的計數順序為 000 $\rightarrow$ 111 $\rightarrow$ 110 $\rightarrow$ 101 $\rightarrow$ 100 $\rightarrow$ 011 $\rightarrow$ 010 $\rightarrow$ 001 $\rightarrow$ 000。 圖一    可控制上下數的三位元同步計數器狀態圖 正反器的種類與數目 正反器的種類，在此選擇的是 $JK$ 正反器。$n$ 個正反器，可以設計出 $2^n$ 模上數或下數的同步計數器。而有 8 個計數狀態 ( 8 模 ) 的三位元同步計數器，因為 $2^3=8$，需要的正反器數目為 3 個，其計數範圍則為 $0$ 至 $2^3-1$。 狀態激勵表 要列出可上下數三位元同步計數器的狀態激勵表，則必須先寫出 $JK$ 正反器的 激勵表 (Excitation Table) ，再與狀態圖綜合起來就可以得到，而其中的激勵表則是推導自正反器的真值表。首先，我們來看 $JK$ 正反器的真值表，如圖二所示： 圖二  ...