反三角函數的微分 | 反三角函數的微分推導 | 反三角函數的微分例題

作者： Danny Yang
Differentials of the Inverse Trigonometric Functions


如下所示為反三角函數的微分公式，及其延伸的積分公式。下面我們將分別說明其推導過程以及相關例題的解法：


$d(\sin^{-1} x)=\frac{dx}{\sqrt {1-x^2}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; -1<x<1$
$\int \frac{dx}{\sqrt {1-x^2}}=\sin^{-1} x+C\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x^2 < 1$

推導：
已知 
$$\sin (\sin^{-1}x)=x$$
上式兩邊微分，因為 $d(\sin u)=\cos u\;du$，可得
$$\cos (\sin^{-1} x)\;d(\sin^{-1} x)=dx$$
即
$$d(\sin^{-1} x)=\frac{dx}{\cos (\sin^{-1} x)}=\frac{dx}{\sqrt{1-\sin^2 (\sin^{-1} x)}}=\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-1<x<1$$
兩邊積分可得
$$\int \frac{dx}{\sqrt {1-x^2}}=\sin^{-1} x+C \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x^2<1$$


範例ㄧ：$y=\sin^{-1} (\frac{x}{2})$，求 $dy/dx$

解：
直接代公式：
$$dy=\frac{d(\frac {x}{2})}{\sqrt {1-(\frac{x}{2})^2}}=\frac{dx}{2 \sqrt {1-(\frac{x}{2})^2}}=\frac{dx}{\sqrt {4-x^2}}$$
因此
$$\frac{dy}{dx}=\frac {1}{\sqrt {4-x^2}}$$

但如果不直接代公式求解，已知
$$y=\sin^{-1} (\frac{x}{2})$$
則
$$\sin y=\frac{x}{2}$$
上式兩邊取導數 (Derivative)，可得
$$\cos y\left (\frac{dy}{dx}\right )=\frac{1}{2}$$
即
$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2\cos y}\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{1}{2 \cos (\sin^{-1} (\frac{x}{2}))}$$
又由圖ㄧ可知，$\cos (\sin^{-1}\frac{x}{2})=\sqrt {1-\frac{x^2}{4}}$，所以
$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2 \sqrt {1-\frac{x^2}{4}}}=\frac{1}{\sqrt {4-x^2}}$$
即為所求。

用來找出 $cos(sin^{-1}\;(\frac{x}{2}))$ 的三角形
圖ㄧ  用來找出 $\cos\; (\sin^{-1}\; \frac{x}{2})$ 的三角形


範例二：求解 $\int_0^{\frac{1}{2}} \frac{dx}{\sqrt {1-x^2}}$

解：
直接代公式：
$$\int_0^{\frac{1}{2}} \frac{dx}{\sqrt {1-x^2}}=\sin^{-1}\frac{1}{2}-\sin^{-1}0 =\frac{\pi}{6}-0=\frac{\pi}{6}$$

但如果不直接代公式求解，可令
$$x=\sin  u$$
則
$$dx=\cos  u\;du$$
因此，
$$\int_0^{\frac{1}{2}} \frac{dx}{\sqrt {1-x^2}}=\int_{sin^{-1}0}^{\sin^{-1}\frac{1}{2}}\frac{\cos u\;du}{\sqrt{1-\sin^2 u}}\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;=\int_{\sin^{-1} 0}^{\sin^{-1}\frac{1}{2}}\frac{\cos u\;du}{\cos u}$$
$$\;\;=\int_{\sin^{-1}0}^{\sin^{-1}\frac{1}{2}}du \;\;\;\;$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;=\sin^{-1}\frac{1}{2}-\sin^{-1}0$$
$$=\frac{\pi}{6}-0\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$=\frac{\pi}{6}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$    


$d(\cos^{-1}x)=-\frac{dx}{\sqrt {1-x^2}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-1<x<1$
$\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=-\cos^{-1} x+C\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x^2<1$

推導：
$$\cos (\cos^{-1}x)=x$$
上式兩邊微分，因為 $d(\cos u)=-\sin u\;du$，可得
$$-\sin (\cos^{-1}x)\;d(\cos^{-1}x)=dx$$
即
$$d(\cos^{-1} x)=\frac{dx}{-\sin (\cos^{-1} x)}$$
由圖二可知，$\sin (\cos^{-1} x)=\sqrt{1-x^2}$，所以
$$d(\cos^{-1} x)=-\frac{dx}{\sqrt {1-x^2}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-1<x<1$$
上式兩邊積分，可得
$$\int \frac{dx}{\sqrt {1-x^2}}=-\cos^{-1} x+C \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x^2<1$$

用來找出 $sin(cos^{-1}\;x)$ 的三角形
圖二  用來找出 $\sin\; (\cos^{-1} x)$ 的三角形


$d(\tan^{-1} x)=\frac{dx}{1+x^2}$
$\int \frac{dx}{1+x^2}=\tan^{-1} x+C$

推導：
$$\tan (\tan^{-1} x)=x$$
上式兩邊微分，因 $d(\tan u)=\sec^2 u\;du$，可得
$$\sec^2 (\tan^{-1} x)d(\tan^{-1} x)=dx$$
$$d(\tan^{-1} x)=\frac{dx}{\sec^2 (\tan^{-1} x)}\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac {dx}{1+\tan^2 (\tan^{-1} x)}$$
$$=\frac{dx}{1+x^2}\;\;$$
上式兩邊積分，可得
$$\int \frac{dx}{1+x^2}=\tan^{-1} x+C$$


範例三：$(x^2+1)\frac{dy}{dx}=-y^2$，$y(0)=1$，試求解此微分方程式

解：
原微分方程式，整理如下
$$\frac{dy}{-y^2}=\frac{dx}{x^2+1}$$
上式兩邊積分，可得
$$-\int y^{-2}dy=\int \frac{dx}{x^2+1}$$
$$y^{-1}=\tan^{-1} x+C$$
$$y=\frac{1}{\tan^{-1} x+C}$$
又 $y(0)=1$，且已知 $\tan^{-1} 0=0$，因此 $C=1$，所以
$$y=\frac{1}{\tan^{-1} x+1}$$


範例四：$y=2x^3\tan^{-1} x+\ln (1+x^2)-x^2$，求 $dy/dx$

解：
$$y=2x^3\tan^{-1} x+\ln (1+x^2)-x^2$$
上式兩邊微分，並應用鏈鎖律 (Chain Rule)，可得
$$dy=6x^2\tan^{-1} x\;dx+\frac{2x^3\;dx}{1+x^2}+\frac{2x\;dx}{1+x^2}-2x\;dx$$
意即
$$\frac{dy}{dx}=6x^2\tan^{-1} x+\frac{2x(x^2+1)}{1+x^2}-2x$$
$$=6x^2\;tan^{-1}x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

範例五：求 $\int \frac{dx}{(a^2+x^2)^2}$

解：
$$I=\int \frac{dx}{(a^2+x^2)^2}\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\int \frac{dx}{a^4 \left [1+(\frac{x}{a})^2\right ]^2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$
令 
$$\tan \theta = \frac{x}{a}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$
等式兩邊微分，則
$$\sec^2 \theta \;d\theta=\frac{dx}{a}$$
即
$$dx=a\sec^2 \theta\;d\theta \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)$$
將式子 (2) 與 式子 (3) 代入式子 (1)，可得
$$I=\int \frac{a\sec^2 \theta\;d\theta}{a^4\;[1+\tan^2 \theta]^2}\;\;\;\;$$
$$=\int \frac{a\sec^2 \theta\;d\theta}{a^4\sec^4 \theta}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$=\frac{1}{a^3}\int \frac{d\theta}{\sec^2 \theta}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{1}{a^3}\int \cos^2 \theta \;d\theta\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(4)$$
利用分部積分 (Integration by Parts)，式子 (4) 其中的
$$\int \cos^2 \theta \;d\theta=\int \cos \theta\;d(\sin \theta)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\cos \theta\sin \theta-\int \sin \theta\;d(\cos \theta)$$
$$\;\;=\cos \theta\sin \theta+\int \sin^2 \theta\;d\theta$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\cos \theta\sin \theta+\int (1-\cos^2 \theta)d\theta$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\cos \theta\sin \theta+\int d\theta -\int \cos^2 \theta\;d\theta$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;=\cos \theta\sin \theta+\theta -\int \cos^2 \theta\;d\theta$$
因此，
$$\int \cos^2 \theta \;d\theta=\frac{\cos \theta\sin \theta}{2}+\frac{\theta}{2}+C^{'}$$
又由式子 (2) 可知 $\cos \theta=\frac{a}{\sqrt{a^2+x^2}}$，$\sin \theta=\frac{x}{\sqrt {a^2+x^2}}$，將上式代回式子 (4)，可得
$$I=\frac{1}{a^3}\left [\left( \frac{1}{2}\frac{a}{\sqrt{a^2+x^2}}\frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}} \right)+\frac{1}{2}\tan^{-1}\frac{x}{a}+C^{'}\right ]$$
$$=\frac{x}{2a^2(a^2+x^2)}+\frac{1}{2a^3}\tan^{-1}\frac{x}{a}+C\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$


$d(\cot^{-1} x)=- \frac{dx}{1+x^2}$
$\int \frac{dx}{1+x^2}=-\cot^{-1} x+C$

推導：
$$\cot (\cot^{-1}x)=x$$
上式兩邊微分，因為 $d(\cot u)=-\csc^2 u\;du$，可得
$$-\csc^2(\cot^{-1} x)d(\cot^{-1}x)=dx$$
即
$$d(\cot^{-1} x)=\frac{dx}{-\csc^2(\cot^{-1}x)}$$
又 $\cot^2 u+1=\csc^2 u$，所以上式可改寫成
$$d(\cot^{-1}x)=\frac{dx}{-\left [\cot^2 (\cot^{-1}x)+1\right ]}=-\frac{dx}{1+x^2}$$
上式兩邊積分，可得
$$\int \frac{dx}{1+x^2}=-\cot^{-1}x+C$$


$d(\sec^{-1}x)=\frac{dx}{|x|\sqrt{x^2-1}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;|x|>1$
$\int \frac{dx}{x\sqrt {x^2-1}}=\sec^{-1}|x|+C\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;|x|>1$

推導：
$$\sec (\sec^{-1}x)=x$$
上式兩邊微分，已知 $d\sec x=\sec x\tan x\;dx$，故可得
$$\sec (\sec^{-1}x)\tan (\sec^{-1}x)d(\sec^{-1}x)=dx$$
$$d(\sec^{-1}x)=\frac{dx}{x\tan (\sec^{-1}x)}$$
又已知 $\tan u=\pm \sqrt {\sec^2 u-1}$，上式可改寫成
$$d(\sec^{-1}x)=\pm \frac{dx}{x \sqrt{x^2-1}}$$
由上式可知，$x^2>1$，則 $x>1$ 或 $x<-1$，但從圖三所示的 $y=\sec^{-1}x$ 的曲線圖可看出其斜率是正值。因此，
$$d(\sec^{-1}x)=\frac{dx}{|x| \sqrt{x^2-1}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;|x|>1$$
上式兩邊積分，可得
$$\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}}=\sec^{-1}|x|+C\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;|x|>1$$

$y=sec^{-1}\;x$ 的曲線圖
圖三  $y=sec^{-1}\;x$ 的曲線圖


範例六：求 $\int_{\frac {2}{\sqrt {3}}}^{\sqrt {2}}\frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}}$

解：
直接代公式：
$$\int_{\frac {2}{\sqrt {3}}}^{\sqrt {2}}\frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}}=\sec^{-1}\sqrt{2}-\sec^{-1}\frac{2}{\sqrt {3}}=\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{12}$$

但如果不直接代公式求解，可令 $x=\sec \theta$，則 $dx=\sec \theta\tan \theta\;d\theta$，因此
$$I=\int_{\frac {2}{\sqrt {3}}}^{\sqrt {2}}\frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}}=\int_{\sec^{-1}\frac{2}{\sqrt {3}}}^{\sec^{-1}\sqrt {2}}\frac{\sec \theta \tan \theta\;d\theta}{\sec \theta \sqrt{\sec^2 \theta -1}}$$
因為 $\sqrt{\sec^2 \theta -1}=\tan \theta$，故
$$I=\int_{\sec^{-1}\frac{2}{\sqrt{3}}}^{\sec^{-1}\sqrt{2}}d\theta=\sec^{-1}\sqrt{2}-\sec^{-1}\frac{2}{\sqrt {3}}=\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{12}$$


$d(\csc^{-1}x)=\frac{-dx}{|x|\sqrt{x^2-1}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;|x|>1$
$\int \frac{dx}{x\sqrt {x^2-1}}=-\csc^{-1}|x|+C\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;|x|>1$

推導：
$$\csc (\csc^{-1}x)=x$$
上式兩邊微分，因為 $d\csc u=-\csc u \cot u\;du$，可得
$$\csc (\csc^{-1}x)\cot (\csc^{-1}x)d(\csc^{-1}x)=dx$$
又 $\csc (\csc^{-1}x)=x$，且由圖四可知 $\cot (\csc^{-1}x)=\sqrt {x^2-1}$，故
$$d(\csc^{-1}x)=\frac{dx}{-x\sqrt{x^2-1}}$$
上式兩邊積分，即可得
$$\int \frac{dx}{x\sqrt {x^2-1}}=-\csc^{-1}|x|+C$$

用來找出 $cot(csc^{-1}\;x)$ 的三角形
圖四  用來找出 $\cot (\csc^{-1}\;x)$ 的三角形


範例七：$y=\csc^{-1}(x^2+1)$，求 $dy/dx$

解：
直接代公式，可得
$$dy=\frac{-d(x^2+1)}{(x^2+1) \sqrt{(x^2+1)^2-1}}$$
即
$$\frac{dy}{dx}=\frac {-2x}{(x^2+1)\sqrt {x^4+2x^2}}$$

但如果不直接代公式求解，已知
$$y=\csc^{-1}\left (x^2+1\right )$$
所以
$$\csc y=x^2+1$$
上式兩邊微分，可得
$$-\csc y\cot y\;dy=2x\;dx$$
即
$$-\csc \left [\csc^{-1}\left (x^2+1 \right )\right ]\cot \left [\csc^{-1}\left (x^2+1\right ) \right]\;dy=2xdx$$
$$-\left (x^2+1\right )\sqrt {(x^2+1)^2-1}\;dy=2x\;dx$$
故
$$\frac{dy}{dx}=\frac {-2x}{(x^2+1)\sqrt {x^4+2x^2}}$$




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作者： Danny Yang
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Reasons Behind Virtual Short and Virtual Open Circuits In Ideal Operational Amplifiers 採負回授的運算放大器 (Operational Amplifier，簡稱 OPA 或 OP-Amp) 可作為電壓訊號放大之用。而欲被放大的電壓輸入信號若輸入於 OPA 的負輸入端 ($v_-$) ，所形成的電壓放大器被稱為 反相 OPA 電壓放大器 (Inverting Operational Amplifier)；反之，若電壓輸入信號輸入於 OPA 的正輸入端  ($v_+$)，則被稱為 非反相 OPA 電壓放大器 (Non-inverting Operational Amplifier)。無論是反相 OPA 電壓放大器或是非反相 OPA 電壓放大器，其 OPA 的正負輸入端，在負回授方式連接的情況下皆存在有 虛短路 (Virtual Short) 與 虛斷路 (Virtual Open) 現象。 所謂虛短路指的是理想的 OPA 放大器在負回授的情況下，OPA 的正輸入端與負輸入端的電位差極小，小至接近於零的現象。因此，在簡化分析時常可將二者的電位視為相等，猶如兩端短路ㄧ般；而所謂虛斷路指的是 OPA 放大器在負回授的情況下，流入 OPA 本身輸入端的電流極小，小至接近於零，以致於可將 OPA 內部連接輸入電阻的兩輸入端視為斷路的現象。 以下將分別針對反相 OPA 電壓放大器以及非反相 OPA 電壓放大器，證明虛短路與虛斷路現象之存在。且上述的二現象若存在，則在推導反相與非反相 OPA 電壓放大器的增益公式時，過程將會容易許多。 反相 OPA 電壓放大器 虛短路與虛斷路現象 證明 如圖ㄧ所示，為一理想的反相 OPA 電壓放大器。運算放大器的等效電路則如圖二所示，其中的 $A_{vo}$ 為開迴路增益，且理想的 OPA 其 $A_{vo} \to \infty$ ( 實際的典型值約在 10 萬至 100 萬之間，相當的大 )。 圖ㄧ      反相 OPA 電壓放大器 圖二      運算放大器的等效電路 圖三     反相 OPA 電壓放大器等效電路 圖三所示為反相 OPA 電壓...
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從 0 積到 1，sqrt (x^2+1) 的積分 | 除法定則推導

作者： Danny Yang
Integral of Sqrt(x^2+1) from 0 to 1 求 $\int_0^1 \sqrt {x^2+1}\;dx$ 解： $$I=\int_0^1 \sqrt {x^2+1}\;dx$$ 利用 變數變換 (Change of Variable)，令 $$x=\tan \theta$$ 則 $$\theta = \tan^{-1}x$$ 且 $$dx=\sec^2 \theta\;d\theta$$ 代入 $I$，可得 $$I=\int_{\tan^{-1}0}^{\tan^{-1}1}\sqrt{\tan^2 \theta +1}\sec^2 \theta\;d\theta $$ $$\;\;= \int_0^{\frac{\pi}{4}}\sec^3 \theta\;d\theta\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ 已知 $d(\tan \theta)=\sec^2\theta\;d\theta$ ，所以式子 (1) 可改寫成 $$I =\int_0^{\frac{\pi}{4}}\sec \theta\;d(\tan\theta)$$ 接著將上式應用 分部積分 (Integration by Parts) 公式：  $\int u\;dv=uv-\int v\;du$ ，可得 $$I=\left. \sec \theta \tan \theta \right \rvert_0^{\frac{\pi}{4}}-\int_0^{\frac{\pi}{4}}\tan \theta\;d(\sec\theta)\;\;\; $$ 又已知 $d(\sec \theta)=\sec \theta\tan\theta\; d\theta$ ，所以 $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;I=\left [ \sec \left (\frac{\pi}{4}\right )\tan \left (\frac{\pi}{4}\right )-\sec (0)\tan (0) \right ]-\int_0^{\frac{\pi}{4}}\tan \theta \c...
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OP-Amp 方波產生電路 | OP-Amp 方波產生電路的數學分析

作者： Danny Yang
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Mathematical Analysis of  Square Wave Generator Using OP-Amp 如圖一所示，為一 OP-Amp 方波 (square wave) 產生電路。由於正回授的運算放大器，其輸出不是正飽和電壓 $+V_{sat}$，就是負飽和電壓 $-V_{sat}$。因此，在作 OPA 方波產生電路的數學分析前，必須先就一開始其輸出為 $+V_{sat}$ 或 $-V_{sat}$ 這兩種輸出情況來分別討論。 圖一     OPA 方波產生電路
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