xtan^(-1)x 的積分

Integral of xtan^(-1)x

求解 $\int xtan^{-1}xdx$

解：

$$I=\int xtan^{-1}xdx$$

$$\;\;\;\;\;=\int tan^{-1}xd(\frac{x^2}{2})$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{x^2}{2}tan^{-1}x-\int \frac{x^2}{2}d(tan^{-1}x)$$

已知 

$$(tanx)^{'} = (\frac{sinx}{cosx})^{'}=\frac{cos^2x+sin^2x}{cos^2x}=sec^2 x$$

即

$$\frac{d(tanx)}{dx}=sec^2x$$

所以，

$$d(tanx)=sec^2xdx$$

又

$$tan(tan^{-1}x)=x$$

$$d[tan(tan^{-1}x)]=dx$$

$$sec^2(tan^{-1}x)d(tan^{-1}x)=dx$$

$$\left [1+tan^2(tan^{-1}x)\right]d(tan^{-1}x)=dx$$

$$(1+x^2)d(tan^{-1}x)=dx$$

可得

$$d(tan^{-1}x)=\frac{dx}{1+x^2}$$

因此，

$$I=\frac{x^2}{2}tan^{-1}x-\int \frac{x^2}{2}\frac{dx}{1+x^2}$$

$$\;\;\;\;\;=\frac{x^2}{2}tan^{-1}x-\frac{1}{2} \int \frac{x^2}{1+x^2}dx$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{x^2}{2}tan^{-1}x-\frac{1}{2} \int \frac{1+x^2-1}{1+x^2}dx$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{x^2}{2}tan^{-1}x - \frac{1}{2}\int \frac{1+x^2}{1+x^2}dx + \frac{1}{2}\int \frac{dx}{1+x^2}$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{x^2}{2}tan^{-1}-\frac{1}{2}\int dx +\frac{1}{2}\int d(tan^{-1}x)$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{x^2}{2}tan^{-1}x-\frac{x}{2}+\frac{1}{2}tan^{-1}x+C\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;C\in R$$

■

上面的解法有應用到不定積分的分部積分 (Integration by parts) 公式，其形式與推導如下：

$\int udv = uv - \int vdu$

推導：

假設 $u(x)$ 與 $v(x)$ 都有連續的導函數，且 $u(x)v(x)$ 可微，則

$(uv) ^{'}= u^{'}v+uv^{'}$

對上式等號兩邊積分，可得

$\int (uv)^{'}dx = \int (u^{'}v+uv^{'})dx$

又根據積分的線性性質，上式可以改寫成

$\int (uv)^{'}dx = \int u^{'}vdx + \int uv^{'}dx$

即

$\int d(uv) = \int vdu + \int udv$

可知

$uv = \int vdu + \int udv$

最後可得

$\int udv = uv - \int vdu$

■

所以上面的解題過程中，

 $I=\int tan^{-1}xd(\frac{x^2}{2})$

                           $=\frac{x^2}{2}tan^{-1}x-\int \frac{x^2}{2}d(tan^{-1}x)$

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