x tan^(-1) x 的積分
Integral of x tan^(-1) x
求解 $\int x\tan^{-1}x\;dx$
解：
$$I=\int x\tan^{-1}x\;dx\;$$
$$\;\;\;\;=\int \tan^{-1}x\;d(\frac{x^2}{2})$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{x^2}{2}\tan^{-1}x-\int \frac{x^2}{2}d(\tan^{-1}x)$$
已知
$$(\tan x)^{'} = (\frac{\sin x}{\cos x})^{'}=\frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x}=\sec^2 x$$
即
$$\frac{d(\tan x)}{dx}=\sec^2 x$$
所以，
$$d(\tan x)=\sec^2 x\;dx$$
又
$$\tan \left (\tan^{-1}x \right )=x$$
$$d \left [\tan \left (\tan^{-1}x \right ) \right ]=dx$$
$$\sec^2 \left (\tan^{-1}x \right )d \left (\tan^{-1}x \right )=dx$$
$$\left [1+\tan^2 \left (\tan^{-1}x \right )\right]d(\tan^{-1}x)=dx$$
$$(1+x^2)d(\tan^{-1}x)=dx$$
可得
$$d \left (tan^{-1}x \right )=\frac{dx}{1+x^2}$$
因此，
$$I=\frac{x^2}{2}\tan^{-1}x-\int \frac{x^2}{2}\frac{dx}{1+x^2}$$
$$\;\;\;\;\;=\frac{x^2}{2}\tan^{-1}x-\frac{1}{2} \int \frac{x^2}{1+x^2}dx$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{x^2}{2}\tan^{-1}x-\frac{1}{2} \int \frac{1+x^2-1}{1+x^2}dx$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{x^2}{2}\tan^{-1}x - \frac{1}{2}\int \frac{1+x^2}{1+x^2}dx + \frac{1}{2}\int \frac{dx}{1+x^2}$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{x^2}{2}\tan^{-1}x-\frac{1}{2}\int dx +\frac{1}{2}\int d \left (\tan^{-1}x \right )$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{x^2}{2}\\tan^{-1}x-\frac{x}{2}+\frac{1}{2}tan^{-1}x+C\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;C\in R$$
■
上面的解法有應用到不定積分的分部積分 (Integration by parts) 公式，其形式與推導如下：
$\int u\;dv = uv - \int v\;du$
推導：
假設 $u(x)$ 與 $v(x)$ 都有連續的導函數，且 $u(x)v(x)$ 可微，則
$(uv) ^{'}= u^{'}v+uv^{'}$
對上式等號兩邊積分，可得
$\int (uv)^{'}dx = \int (u^{'}v+uv^{'})dx$
又根據積分的線性性質，上式可以改寫成
$\int (uv)^{'}dx = \int u^{'}v\;dx + \int uv^{'}\;dx$
即
$\int d(uv) = \int v\;du + \int u\;dv$
可知
$uv = \int v\;du + \int u\;dv$
最後可得
$\int u\;dv = uv - \int v\;du$
■
所以上面的解題過程中，
$I=\int \tan^{-1}x\;d \left (\frac{x^2}{2} \right )\;\;$
$=\frac{x^2}{2}\tan^{-1}x-\int \frac{x^2}{2}\;d \left (\tan^{-1}x \right )$
留言
張貼留言