IC 555 單穩態多諧振盪電路的原理與輸出脈波寬度公式推導

Working Principle and Output Pulse Duration Derivation of IC 555 Monostable Multivibrator

如圖一所示，為一 IC 555 所組成的單穩態多諧振盪電路。首先我們先說明此振盪器的原理，接著再來推導此振盪器的輸出脈波寬度公式。

圖一    IC 555 單穩態多諧振盪電路

動作原理

• 如圖二所示為 555 的內部電路，其可幫助我們了解 IC 555 單穩態多諧振盪電路的動作原理。如圖三所示，當電源打開瞬間，555 的第 4 腳 $(\overline {Reset})$ 因其所連接的電容在該瞬間短路，會接收到邏輯 "0" 訊號，使得其第 3 腳 $(Output)$ 被重置，因而輸出邏輯 "0"，且放電電晶體導通，開始放電。但當電源穩定後，該電容開路使得第 4 腳接收到邏輯 "1" 訊號，停止重置輸出接腳，第 3 腳的輸出狀態才開始能受到第 6 腳與第 2 腳的輸入狀況的影響而改變。此時在放電電晶體導通的情況下，第 6 腳 $(Threshold)$ 電位約 $0.2V$ 等同於輸入邏輯 "0"，加上按鈕未按下時的第 2 腳輸入的是邏輯 "1"，意即此時 IC 555 的內部的 $RS$ 栓鎖器的 $R$ = "0" 且 $S$ = "0"，$Q$ 與 $\overline Q$ 維持原態 $($ $RS$ 栓鎖器的真值表，如圖四所示 $)$，因此第 3 腳繼續輸出邏輯 "0"。
  

圖二    IC 555 內部電路

圖三   IC 555 單穩態多諧振盪電路電源打開瞬間，輸出邏輯 "0" 且放電電晶體導通，電容 C 不充電

圖四    RS 栓鎖器真值表

• 當電源穩定後，按鈕開關按下瞬間，IC 555 的第 2 腳 $(Trigger)$ 會輸入邏輯 "0"，導致 IC 555 內部的 $S$ = "1"，$R$ 依舊為 "0"，因此 $Q$ = "1"，且放電電晶體不導通停止放電，電容 C 開始充電，如圖五所示。

圖五   IC 555 單穩態多諧振盪電路按鈕按下瞬間，輸出邏輯 "1" 且放電電晶體不導通，電容 C 充電

• 當按鈕開關鬆開後，若電容 C 正極的電位尚未被充至大於 $\frac {2V_{cc}}{3}$ ，此時 IC 555 內部的 $S$ = "0" 且 $R$ = "0"，$Q$ 與第 3 腳 $(Output)$ 繼續維持邏輯 "1" 的輸出，電容 C 持續充電；但當電容 C 的正極的電位被充至大於 $\frac {2V_{cc}}{3}$ 瞬間，IC 555 內部的 $S$ ="0" 且 $R$ = "1"，此時 $Q$ 與第 3 腳 $(Output)$ 轉態為邏輯 "0"，放電電晶體導通，電容 C 電位瞬間掉至 $0.2V$，如此就形成單穩態的輸出，IC 555 第 6 腳、第 3 腳以及第 2 腳的波形圖如圖六所示。

圖六    IC 555 第 6 腳、第3腳以及第 2 腳的波形圖

又一般若不在乎電源一打開按鈕尚未按下， IC 555 就輸出一高準位訊號後回復低準位訊號，可考慮將 IC 555 的第 4 腳 $(\overline {Reset})$，直接接 $V_{CC}$，如圖七所示。當電源打開瞬間，第 4 腳沒有接收到邏輯 "0" 的重置訊號，因此第 3 腳輸出邏輯 "1"，內部的放電電晶體不導通，電容 C 被充電。當電容 C 的正極被充至大於 $\frac {2V_{cc}}{3}$ ，第 3 腳轉態輸出邏輯 "0"，內部的放電電晶體導通，電容 C 放電。此後，整個電路狀態就與圖一所示電路的初始狀態一樣。

圖七   IC 555 的第 4 腳 $(\overline {Reset})$，直接接 $V_{CC}$ 的單穩態多諧振盪電路 

輸出脈波寬度公式推導

如圖五所示，假設電容 C 開始充電的時間為 $0$，$v_C(0) = 0$，且其正極電位充到 $\frac {2V_{cc}}{3}$ 的時間為 $t_D$，充電電流為 $i(t)$。則根據 $KVL$ 可知

$$V_{CC} = i(t)R+v_C(t)\;\;\;\;\;\;........\;\;\;\;\;\;(1)$$                                                            

因為 

$$v_C(t) = \frac{1}{C}\int_0^t idt + v_C(0) =  \frac{1}{C}\int_0^t idt \;\;\;\;\;\;........\;\;\;\;\;\;(2)$$    

代入式子 (1) 可得

$$V_{CC} = i(t)R+ \frac{1}{C}\int_0^t idt$$

將上式等號兩邊微分，

$$0 = \frac{di(t)}{dt}R+\frac{i(t)}{C}$$

整理得

$$\frac{di(t)}{i(t)}= -\frac{dt}{RC}$$

上式兩邊積分，可得

$$\int_0^t \frac{di(t^{'})}{i(t^{'})} = -\int_0^t \frac{dt^{'}}{RC}$$

即

$$ln [i(t)] - ln [i(0)] = - \frac{t}{RC}\;\;\;\;\;\;........\;\;\;\;\;\;(3)$$                                                        

又已知 

$$i(o) = \frac{V_{CC}-v_C(0)}{R}=\frac{V_{CC}}{R}$$

代入式子 (3) 可得

$$ln [i(t)] - ln[\frac{V_{CC}}{R}] =  - \frac{t}{RC}$$   

$$ln[i(t)]=-\frac{t}{RC}+ln[\frac{V_{CC}}{R}]$$

即

$$i(t) = e^{-[\frac{t}{RC}+ln(\frac{V_{CC}}{R})]}$$

$$\;\;\;=e^{\frac{-t}{RC}}e^{ln (\frac{V_{CC}}{R})}$$

$$=\frac{V_{CC}}{R}e^{\frac{-t}{RC}}$$    

再將上式代入式子 (2)，可得

$$v_C(t) = \frac{V_{CC}}{RC} \int_0^t e^{\frac{-t^{'}}{RC}} dt ^{'}$$

$$\;\;=V_{CC} \left .e^{-\frac{t^{'}}{RC}} \right\rvert_0^t$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;=V_{CC}(1-e^{-\frac{t}{RC}})$$

又已知 $v_C(t_D) = \frac{2V_{CC}}{3}$，即

$$\frac{2}{3}V_{CC}=V_{CC}(1-e^{-\frac{t_D}{RC}})$$

$$e^{\frac{-t_D}{RC}}= \frac{1}{3}$$

$$\frac{-t_D}{RC}= - ln3$$

因此，

$$t_D = (ln3)RC =1.1RC$$

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