IC 555 無穩態多諧振盪器的原理與振盪頻率推導

Working Principle and Frequency Derivation of IC 555 Astable Multibrator

如圖一所示，為一 IC555 組成的無穩態多諧振盪器。首先我們先說明此振盪器的原理，接著再來推導此振盪器的振盪頻率公式。

圖一    IC 555 無穩態多諧振盪器電路

IC 555 無穩態多諧振盪器的原理

IC 555 的內部電路，如圖二所示。

圖二    IC 555 內部電路圖

(1) 如圖一所示，電源打開瞬間 $V_2$ 與 $V_6$ 為 $0 V$，此時 IC555 內部 RS 正反器的 $S = "1"$ 且 $R ="0"$  ( 參見圖二 ) ，導致 $Q = "1"$ ($\overline Q = "0"$) ，使得 $V_3 = "1"$，且放電電晶體不導通，因此與 IC555 第二腳與第六腳連接的電容會被充電。

(2) 當電容的充電電壓介於 $0V$ 與 $\frac{V_{cc}}{3}$ 之間時，RS 正反器的 $S = "1"$ 且 $R ="0"$，導致 $Q = "1"$ ($\overline Q = "0"$) ，使得 $V_3 = "1"$，放電電晶體不導通，電容的充電動作持續。

(3) 當電容的充電電壓介於 $\frac{V_{cc}}{3}$ 與 $\frac{2V_{cc}}{3}$ 之間時，RS 正反器的 $S = "0"$ 且 $R ="0"$，$Q$ 與 $\overline Q$ 維持原狀態，即 $Q = "1"$ ($\overline Q = "0"$) ，使得 $V_3 = "1"$，放電電晶體不導通，電容的充電動作持續。

(4) 當電容電壓被充至大於 $\frac {2V_{cc}}{3}$ 時，RS 正反器的 $S = "0"$ 且 $R = "1"$，導致 $Q = "0"$ ($\overline Q = "1"$) ，使得 $V_3 = "0"$ ，且放電電晶體導通提供一電容放電路徑，因而該電容的狀態轉成放電。

(5)  電容因放電電壓下降，當其電壓介於 $\frac{V_{cc}}{3}$ 與 $\frac{2V_{cc}}{3}$ 之間時，RS 正反器的 $S = "0"$ 且 $R = "0"$，$Q$ 與 $\overline Q$ 維持原態，即 $Q = "0"$ ($\overline Q = "1"$) ，使得 $V_3 = "0"$ ，且放電電晶體導通，因而電容放電路徑持續存在，電容繼續放電。

(6)  持續放電的電容，當電壓放至低於 $\frac{V_{cc}}{3}$ 時，RS 正反器的 $S = "1"$ 且 $R = "0"$，使得 $V_3 = "1"$，並且電容被充電。接下來，第 (2) 點至第 (6) 點就持續重複下去，其波形圖如圖三所示。

圖三    波形圖

IC 555 無穩態多諧振盪器振盪頻率推導

$T_H$ 推導

如圖三所示，當 IC 555 無穩態多諧振盪器的輸出進入穩態後，設某一次電容 C 由放電轉充電瞬間時間 $t = 0$，且至下一次充電轉放電的瞬間時間 $t=T_H$。如圖一所示，若 $i$ 為充電電流，則在此充電過程中，根據 $KVL$ 可得

$V_{cc} = i(R_1+R_2) + \frac{1}{C}\int_{0}^{t}idt$

將上式等號兩邊對 $t$ 微分，可得

$0 = \frac{di}{dt}(R_1+R_2) + \frac{i}{C}$

上式整理得

$\frac{di}{i} = - \frac{dt}{R_1+R_2}$

再將上式等號兩邊積分，可得

$ln\left| i \right| = -\frac{t}{R_1+R_2} + K_1$               

其中 $K_1$ 為一常數。

即

$i = Ke^{\frac{-t}{(R_1+R_2)C}}$                    (1)              

上式中的 $K$ 為一常數。

又由圖一與圖三可知

$i(0) = \frac{V_{cc} - \frac{V_{cc}}{3}}{R_1+R_2} = \frac{2V_{cc}}{3(R_1+R_2)}$                    (2)

將式子 (2) 代入式子 (1)，可得

$K = \frac{2V_{cc}}{3(R_1+R_2)}$

將上式代回式子 (1) 可知充電電流

$i(t) = \frac{2V_{cc}}{3(R_1+R_2)}e^{-\frac{t}{(R_1+R_2)}}$                    (3)

又由 $KVL$ 可知

$v_C = V_{cc} - i (R_1+R_2)$

                                   $= V_{cc} - \frac{2V_{cc}}{3(R_1+R_2)}e^{-\frac{t}{(R_1+R_2)}}(R_1+R_2)$

                                 $=V_{cc}\left[ 1 - \frac{2}{3}e^\frac{-t}{(R_1+R_2)}\right]$                    (4)

且由圖三可知

$v_c(T_H) = \frac{2V_{cc}}{3}$

代入式子 (4) 可得

$\frac{2V_{cc}}{3} = V_{cc}\left[1 - \frac{2}{3}e^{\frac{-T_H}{(R_1+R_2)C}} \right]$

整理得

$e^{\frac{-T_H}{(R_1+R_2)C}} = \frac{1}{2}$

$e^{\frac{T_H}{(R_1+R_2)C}}=2$

可得

$\frac{T_H}{(R_1+R_2)C} = ln2$

即

$T_H = (R_1+R_2)Cln2$

                                   $= 0.693(R_1+R_2)C$                    (5)

$T_L$ 推導

如圖三所示，當 IC 555 無穩態多諧振盪器的輸出進入穩態後，設某一次電容 C 由充電轉放電瞬間的時間 $t=0$，且至下一次放電轉充電瞬間的時間為 $t = T_L$。如圖一所示，若 $i$ 為放電電流，且在此放電過程中，假設此時導通的放電電晶體的 $V_{CE}\approx 0V$，則根據 $KVL$ 可得

$v_c = iR_2$                    (6)

意即

$-\frac{1}{C}\int_0^tidt =  iR_2$

上式等號兩邊對 $t$ 微分，可得

$-\frac{i}{R_2C}=\frac{di}{dt}$

整理得

$\frac{di}{i}=-\frac{dt}{R_2C}$

上式等號兩邊積分，可得

$i=ke^{-\frac{t}{R_2}}$                    (7)

其中 $k$ 為常數。

又已知

$i(0) = \frac{\frac{2V_{cc}}{3}}{R_2}$                    (8)

將式子 (8) 代入式子 (7)，可得

$k = \frac{2V_{cc}}{3R_2} $                    (9)

再將式子 (9) 代入式子 (7)，可知放電電流

$i(t) = \frac{2V_{cc}}{3R_2}e^{\frac{-t}{R_2}}$                    (10)

式子 (10) 代回式子 (6)，可得

$v_c(t) = \frac{2V_{cc}}{3}e^{\frac{-t}{R_2}}$                    (11)

又由圖三可知

$v_c(T_L) = \frac{V_{cc}}{3}$ 

將上式代入式子 (11) 可得

$e^{-\frac{T_L}{R_2}}=\frac{1}{2}$

$e^{\frac{T_L}{R_2}} = 2$

即

$T_L = R_2ln2$

                                    $=0.693R_2$                    (12)

輸出訊號的週期與頻率推導

週期 

$T = T_H+T_L$

將式子 (5) 與式子 (11) 代入上式，可得

$T = 0.693(R_1+2R_2)C$

最後所求的頻率

$f=\frac{1}{T}=\frac{1}{0.693(R_1+2R_2)C}$

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