2+tan^2(x) 的積分

Integration of 2+tan^2(x) 

求解 $\int (2+tan^2x)dx$

解：

$\int (2+tan^2x)dx = \int \left[1+(1+tan^2x)\right]dx$

                   $=\int \left[1+sec^2x\right]dx$

                    $=\int dx + \int d(tanx)$

                                               $=x+tanx+C$                    $C \in R$

上面的解題過程中，有用到下列的不定積分的基本性質

$\int f(x)dx \pm g(x)dx= \int f(x)dx \pm \int g(x)dx$

以及兩個關係式

$1+tan^2x = sec^2x$

其來源是

$cos^2x + sin^2x = 1$

將等號兩邊同除以 $cos^2x$，

$\frac{cos^2x+sin^2x}{cos^2x}=\frac{1}{cos^2x}$

即可得

$1+tan^2x = sec^2x$

$d(tanx) = sec^2xdx$

因為

$d(tanx) = d\left( \frac{sinx}{cosx}\right)$

                                            $=\left[\frac{cosxcosx-(-sinx)sinx}{cos^2x}\right]dx$

                               $=\left(\frac{cos^2x+sin^2x}{cos^2x}\right) dx$

                      $=\left( \frac{1}{cos^2x} \right)dx$

                  $=sec^2xdx$