2+tan^2(x) 的積分

Integration of 2+tan^2(x) 

求解 $\int (2+\tan^2 x)dx$

解：

$$\int (2+\tan^2 x)dx = \int \left[1+(1+\tan^2 x)\right ]dx\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;=\int \left[1+\sec^2 x\right]dx$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\int dx + \int d(\tan x)$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=x+\tan x+C\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; C \in R$$

上面的解題過程中，有用到下列的不定積分的基本性質

$\int f(x)dx \pm g(x)dx= \int f(x)dx \pm \int g(x)dx$

以及兩個關係式

$1+\tan^2 x = \sec^2 x$

其來源是

$$\cos^2 x + \sin^2 x = 1$$

將等號兩邊同除以 $\cos^2 x$，

$$\frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x}=\frac{1}{\cos^2 x}$$

即可得

$$1+\tan^2 x = \sec^2 x$$

$d(\tan x) = \sec^2 x\;dx$

因為

$$d(\tan x) = d\left( \frac{\sin x}{\cos x}\right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$\;\;=\left[\frac{\cos x\cos x-(-\sin x)\sin x}{\cos^2 x}\right]dx$$

$$=\left(\frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x}\right) dx\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$=\left( \frac{1}{\cos^2 x} \right)dx\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$=\sec^2 x\;dx\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$