首數、尾數與位數

科學記號 (Scientific Notation) 常被用來簡潔地表示極大或極小的數值以方便分析，其表示法為 

$$a \times 10^n \;\;\; (1 \le |\;a\;|<10，n \;為整數 )$$

例如一個大於 $1$ 的數： $673,000$，若以科學記號來表示，可寫成 $6.73 \times 10^5$，將其取對數，可得 $5+log\;6.73$，其中 $5$ 為對數值整數的部分，$log\;6.73$ 為對數值小數的部分。我們可以觀察到 $673,000$ 為 6 位數，剛好是其科學記號表示法中的指數 $5$ 加 $1$ 或是其對數值整數部分 (即 $5$) 加 $1$ 的結果；又一個小於 $1$ 的數：$0.00673$ 的科學記號為 $6.73 \times 10^{-3}$，對數值為 $-3+log\;6.73$，我們也可以觀察到該數在小數點第 $3$ 位開始數字不為 $0$，剛好是其科學記號表示法中的指數 $-3$ 的絕對值或是其對數值整數部分的絕對值。

因此，若有一正數 $x$ 其科學記號為 $a \times 10^n\;(a\;為正數，n\;為整數\;)$，則

$$x=a \times 10^n$$

上式兩邊取對數，可得

$$log\;x = log\;(a \times 10^n)=log\;a+log\;10^n=n+log\;a$$

已知 $1\le a <10$，所以 $0 \le log\;a <1$。上式中的 $n$ 為對數值的整數部分稱為 $log\;x$ 的首數 (Characteristic)，而 $log\;a$ 為對數值小數的部分則稱之為尾數 (Manttissa)。若 $n$ 為正整數，則 $x$ 的位數為 $n+1$；若 $n$ 為負整數，則 $x$ 在小數點第 $|\;n\;|$ 位開始數字不為 $0$。

範例一：已知 $log\; 2 = 0.301$，$x=2^{20}$，則 $\sqrt x$ 為幾位數？

解：

$$log\;\sqrt x=log\;\sqrt{2^{20}}=log\;2^{10}=10\;(0.301) =3.01=3+0.01 $$

首數為 3，尾數為 $0.01$。位數 =首數+$1$，所以 $\sqrt x$ 為 $4$ 位數。

範例二：已知 $11^{100}$ 為 $105$ 位數，則 $11^{40}$ 為幾位數？

解：

依題意，可知

$$104 \le log\;11^{100}\lt 105$$

$$104 \le  100\;log\;11 \lt 105$$

$$1.04 \le log\;11 \lt 1.05$$

又

$$log\;11^{40}=40\;log\;11$$

即

$$40(1.04) \le log\;11^{40} \lt 40(1.05)$$

$$41.6 \le log\;11^{40} \lt 42$$

所以，$11^{40}$ 為 $42$ 位數。

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