首數、尾數與位數

科學記號 (Scientific Notation) 常被用來簡潔地表示極大或極小的數值以方便分析，其表示法為 

$$a \times 10^n \;\;\; (1 \le |\;a\;|<10，n \;為整數 )$$

例如一個大於 $1$ 的數： $673,000$，若以科學記號來表示，可寫成 $6.73 \times 10^5$，將其取對數，可得 $5+\log\;6.73$，其中 $5$ 為對數值整數的部分，$\log\;6.73$ 為對數值小數的部分。我們可以觀察到 $673,000$ 為 6 位數，剛好是其科學記號表示法中的指數 $5$ 加 $1$ 或是其對數值整數部分 (即 $5$) 加 $1$ 的結果；又一個小於 $1$ 的數：$0.00673$ 的科學記號為 $6.73 \times 10^{-3}$，對數值為 $-3+\log\;6.73$，我們也可以觀察到該數在小數點第 $3$ 位開始數字不為 $0$，剛好是其科學記號表示法中的指數 $-3$ 的絕對值或是其對數值整數部分的絕對值。

因此，若有一正數 $x$ 其科學記號為 $a \times 10^n\;(a\;為正數，\;n\;為整數\;)$，則

$$x=a \times 10^n$$

上式兩邊取對數，可得

$$log\;x = log\;(a \times 10^n)=log\;a+log\;10^n=n+log\;a$$

已知 $1\le a <10$，所以 $0 \le \log\;a <1$。上式中的 $n$ 為對數值的整數部分稱為 $\log\;x$ 的首數 (Characteristic)，而 $\log\;a$ 為對數值小數的部分則稱之為尾數 (Manttissa)。若 $n$ 為正整數，則 $x$ 的位數為 $n+1$；若 $n$ 為負整數，則 $x$ 在小數點以下第 $|\;n\;|$ 位開始數字不為 $0$。

從另一角度來看，令上式中的 $\log\;a=m$，則  $\log \;x=n+m$，其中的 $m$ 為尾數。 可知

$$x=10^{n+m}$$

且

$$0 \le m \lt 1$$

所以

$$n \le n+m \lt n+1$$

$$10^{n} \le 10^{n+m} \lt 10^{n+1}$$

$$10^{n} \le x \lt 10^{n+1}$$

如果 $n$ 為正整數，則 $x$ 的位數為 $n+1$；若 $n$ 為負整數，則 $x$ 在小數點以下第 $|\;n\;|$ 位開始數字不為 $0$。

範例一：已知 $\log\; 2 = 0.301$，$x=2^{20}$，則 $\sqrt x$ 為幾位數？

解：

$$\log\;\sqrt x=\log\;\sqrt{2^{20}}=\log\;2^{10}=10\;\log\;2=10\;(0.301) =3.01=3+0.01 $$

首數為 3，尾數為 $0.01$。位數 = 首數 + $1$，所以 $\sqrt x$ 為 $4$ 位數。

範例二：已知 $11^{100}$ 為 $105$ 位數，則 $11^{40}$ 為幾位數？

解：

依題意，可知

$$104 \le \log\;11^{100}\lt 105$$

$$104 \le  100\;\log\;11 \lt 105$$

$$1.04 \le \log\;11 \lt 1.05$$

又

$$\log\;11^{40}=40\;\log\;11$$

即

$$40(1.04) \le \log\;11^{40} \lt 40(1.05)$$

$$41.6 \le \log\;11^{40} \lt 42$$

所以，$11^{40}$ 為 $42$ 位數。

範例三：已知 $\log\; 2=0.301$，試找出 $2^{-50}$ 在小數點以下第幾位開始數字不為 $0$？

解：

$$\log \;2^{-50}=-50\;log\;2=-50(0.301)=-15.05=-16+0.95$$

所以，$2^{-50}$ 在小數點以下第 $16$ 位開始數字不為 $0$。

範例四：已知 $\log\; 2=0.301$，試求 $2^{100}$ 為幾位數？首位的數字是多少？

解：

已知 $\log\;2=0.301$，則 $2=10^{0.301}$，因此

$$2^{100}=\left (10^{0.301}\right )^{100}=10^{30.1}=10^{30+0.1}=10^{0.1}\times 10^{30}$$

又已知

$$10^{0}\lt 10^{0.1}\lt 10^{0.301}$$

則

$$10^{0}\times 10^{30}  \lt 10^{0.1} \times 10^{30} \lt 10^{0.301}\times 10^{30} $$

$$1 \times 10^{30} \lt 10^{30.1}\lt 2\times 10^{30} $$

$$1 \times 10^{30} \lt 2^{100} \lt 2\times 10^{30} $$

所以，$2^{100}$ 為 $31$ 位數，且首位的數字為 $1$。

範例五：已知 $\log\; 2=0.301$，$\log\; 3=0.4771$，則 $3^{-100}$ 在小數點以下第幾位開始數字不為 $0$？小數點後第一個不為 $0$ 的數字為何？

解：

已知 $\log\;3=0.4771$，則 $3=10^{0.4771}$，因此

$$3^{-100}=\left (10^{0.4771}\right )^{-100}=10^{-47.71}=10^{-48+0.29}$$

又已知 $\log\;2=0.301$，即 $2=10^{0.301}$，故

$$10^{0} \lt 10^{0.29} \lt 10^{0.301}$$

$$1\times 10^{-48} \lt 10^{0.29}\times 10^{-48} \lt 2\times 10^{-48}$$

$$1\times 10^{-48} \lt 10^{-47.71} \lt 2\times 10^{-48}$$

$$1\times 10^{-48}\lt 3^{-100} \lt 2\times 10^{-48}$$

所以，$3^{-100}$ 在小數點以下第 $48$ 位開始數字不為 $0$，且小數點後第一個不為 $0$ 的數字為 $1$。

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