x^3 cos 2x 的積分
求解 $\int x^3 \cos 2x\;dx$
令
$$I = \int x^3 \cos 2x\;dx$$
因為 $d(\sin 2x)=2\cos 2x\;dx$，即 $\cos 2x\;dx=\frac{1}{2}d(\sin 2x)$，代入 $I$ 可得
$$I= \frac{1}{2}\int x^3\;d(\sin 2x)$$
利用不定積分的分部積分 (Integration by Parts) 公式：
$$\int u\;dv=uv-\int v\;du$$
令 $u=x^3$、$v=\sin 2x$，則
$$I=\frac{1}{2}\left [x^3\sin 2x-\int \sin 2x\;d(x^3)\right ]\;\;\;\;\;$$
$$=\frac{1}{2}\left [x^3 \sin 2x-3\int x^2\sin 2x\;dx \right ]$$
因為 $d(\cos 2x) = -2\sin 2x\;dx$，即 $\sin 2x\;dx = - \frac{1}{2}d(\cos 2x)$，代入 $I$ 可得
$$I=\frac{1}{2}\left [x^3\sin 2x+\frac{3}{2}\int x^2 \;d(\cos 2x) \right ]$$
再用一次分部積分公式，令 $u=x^2$、$v=\cos 2x$，則
$$I=\frac{1}{2}\left [x^3\sin 2x+\frac{3}{2}x^2\;\cos 2x-\frac{3}{2}\int \cos 2x\;d(x^2) \right ]$$
$$\;\;\;\;\;=\frac{1}{2}\left [x^3\sin 2x+\frac{3}{2}x^2\cos 2x-\frac{3}{2}\int \cos 2x\;(2x\;dx) \right ]$$
又 $d(\sin 2x) = 2\cos 2x\;dx$，所以上式可改寫成
$$I=\frac{1}{2}\left [ x^3 \sin 2x+\frac{3}{2}x^2 \cos 2x-\frac{3}{2}\int x\;d(\sin 2x) \right ]$$
接著繼續再用一次分部積分公式，令 $u=x$、$v=\sin 2x$，則
$$I=\frac{1}{2}\left [ x^3\sin 2x+\frac{3}{2}x^2 \cos 2x-\frac{3}{2}x\sin 2x+\frac{3}{2}\int \sin 2x\;dx \right ]\;\;\;\;$$
$$\;\;\;=\frac{1}{2}\left [ x^3\sin 2x+\frac{3}{2}x^2 \cos 2x-\frac{3}{2}x\sin 2x+\frac{3}{4}\int \sin 2x\;d(2x) \right ]$$
又 $d(\cos 2x)=-2\sin 2x\;dx =-\sin 2x\;d(2x)$，即
$$I=\frac{1}{2}\left [ x^3\sin 2x+\frac{3}{2}x^2 \cos 2x-\frac{3}{2}x\sin 2x-\frac{3}{4}\int d(\cos 2x) \right ]\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$
$$\;\;=\frac{1}{2}x^3\sin 2x+\frac{3}{4}x^2\cos 2x-\frac{3}{4}x\sin 2x-\frac{3}{8}\cos 2x+C\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;C \in R$$
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