x^3 cos2x 的積分

 

求解 $\int x^3 cos2x\;dx$ 

解：

令

$$I = \int x^3 cos2x\;dx$$ 

因為 $d(sin2x)=2cos2x\;dx$，即 $cos2x\;dx=\frac{1}{2}d(sin2x)$，代入 $I$ 可得

$$I= \frac{1}{2}\int x^3d(sin2x)$$

利用不定積分的分部積分 (Integration by Parts) 公式：

$$\int udv=uv-\int vdu$$

令 $u=x^3$、$v=sin2x$，則

$$I=\frac{1}{2}\left [x^3sin2x-\int sin2x\;d(x^3)\right ]\;\;\;\;$$

$$=\frac{1}{2}\left [x^3sin2x-3\int x^2sin2x\;dx \right ]$$

因為 $d(cos2x) = -2sin2x\;dx$，即 $sin2x\;dx = - \frac{1}{2}d(cos2x)$，代入 $I$ 可得

$$I=\frac{1}{2}\left [x^3sin2x+\frac{3}{2}\int x^2 \;d(cos2x) \right ]$$

再用一次分部積分公式，令 $u=x^2$、$v=cos2x$，則

$$I=\frac{1}{2}\left [x^3sin2x+\frac{3}{2}x^2cos2x-\frac{3}{2}\int cos2x\;d(x^2) \right ]$$

$$\;\;\;\;\;\;=\frac{1}{2}\left [x^3sin2x+\frac{3}{2}x^2cos2x-\frac{3}{2}\int cos2x\;(2x\;dx) \right ]$$

又 $d(sin2x) = 2cos2x\;dx$，所以上式可改寫成

$$I=\frac{1}{2}\left [ x^3 sin2x+\frac{3}{2}x^2 cos2x-\frac{3}{2}\int x\;d(sin2x) \right ]$$

接著繼續再用一次分部積分公式，令 $u=x$、$v=sin2x$，則

$$I=\frac{1}{2}\left [ x^3 sin2x+\frac{3}{2}x^2 cos2x-\frac{3}{2}x\;sin2x+\frac{3}{2}\int sin2x\;dx \right ]\;\;\;\;$$

$$\;\;\;=\frac{1}{2}\left [ x^3 sin2x+\frac{3}{2}x^2 cos2x-\frac{3}{2}x\;sin2x+\frac{3}{4}\int sin2x\;d(2x) \right ]$$

又 $d(cos2x)=-2sin2x\;dx =-sin2x\;d(2x)$，即

$$I=\frac{1}{2}\left [ x^3 sin2x+\frac{3}{2}x^2 cos2x-\frac{3}{2}x\;sin2x-\frac{3}{4}\int d(cos2x) \right ]\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$

$$\;\;=\frac{1}{2}x^3sin2x+\frac{3}{4}x^2cos2x-\frac{3}{4}xsin2x-\frac{3}{8}cos2x+C\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;C \in R$$

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