第摩根定律 (DeMorgan’s Law) 的證明
Proof of DeMorgan’s Law 集合代數 的第摩根定律，一般可藉由 文氏圖 (Venn Diagrams) 輕易得到證明。本文除了介紹以文氏圖及代數證明集合運算的第摩根定律之外，將以在 $x$ 與 $y$ 為布林代數的二元變數情況下，證明 布林代數 的第摩根定律。最後並嘗試以真值表搭配 卡諾圖 化簡來提供布林代數的第摩根定律另一種證明方法。 集合代數的第摩根定律： 設 $x$ 與 $y$ 為相異的兩集合，若 $c$ 代表補集， 則 ($a$) $(x\cup y)^{c} = x^{c}\cap y^{c}$ ($b$) $(x\cap y)^{c} = x^{c} \cup y^{c}$ 以文氏圖證明集合論的第摩根定律 證明 (a)： 設 $x$ 及 $y$ 為兩相異集合，如下的文氏圖所示：圖一為 $x$ 與 $y$ 的聯集， 圖二 為 $x$ 與 $y$ 聯集的補集， 圖三為 $x$ 的補集， 圖四為 $y$ 的補集， 圖五則為 $x$ 補集與 $y$ 補集的交集。 圖一 $x\cup y$ 圖二 $(x\cup y)^c$ 圖三 $x^c$ 圖四 $y^c$ 圖五 $x^c\cap y^c$ 可知圖二 $(x\cup y)^c$ 與圖五 $x^c\cap y^c$ 的圖是一樣的，所以， $$(x\cup y)^c = x^c\cap y^c \;\;\;\;\;\;\;\;\; 得證。$$ 證明 (b)： 圖六為 $x$ 與 $y$ 交集的補集，圖七為 $x$ 的補集，圖八為 $y$ 的補集，圖九則為 $x$ 補集與 $y$ 補集的聯集。 圖六 $(x\cap y)^c$ 圖七 $x^c$ 圖八 $y^c$ 圖九 $x^c\cup y^c$ 可知圖六 $(x\cap y)^c$ 與圖九 $x^c\cup y^c$ 是一樣的，所以 $$(x\cap y)^c = x^c\cup y^c\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 得證。$$ 以代數證明集合論的第摩根定 律 證明 (a)： $...