眞趣盎然集

  Schmitt Trigger Inverter Astable Multivibrator |  Derivation of Output Oscillation Frequency 如圖一所示，為一 施密特觸發反相閘 (Schmitt Triger Inverter Gate)  與一個電阻加上一個電容所組成的 無穩態多諧振盪器 。該電路一接上直流電源後，就能持續振盪並輸出矩形波。以下我們將說明其動作原理，並推導其輸出振盪頻率。 圖一   施密特觸發反相閘組成的無穩態多諧振盪器 動作原理 當施密特觸發反相閘的輸入端電壓小於其 下臨界電壓 (Lower Threshold Voltage) $V_L$ 時，該閘會輸出高電位 $V_{OH}$；反之，當其 輸入端電壓大於其 上臨界電壓 (Upper Threshold Voltage) $V_U$ 時，則會輸出低電位 $V_{OL}$。而當輸入電壓介於 $V_L$  與 $V_U$  之間時，則輸出狀態維持不變。常見的 施密特觸發反相閘 IC 有 74LS14 以及 CD40106。 當電源打開瞬間，電容 $C$ 可視為短路，因電容的負端接地，所以該瞬間 施密特觸發反相閘的輸入電壓約為 $0\;V$ ，明顯小於 $V_L$，故閘輸出 $V_{OH}$。而很快地當電源穩定，電容不再有短路現象後，電容 $C$ 將開始被充電，如圖二所示。接著當電容電壓 $v_C$ 因充電增加至大於 閘的 $V_U$ 瞬間，閘的輸出會由高電位 $V_{OH}$ 轉態成低電位 $V_{OL}$。 圖二   電容充電 當上述的 $v_C \gt V_U$，且 $v_o=V_{OL}$ 的狀態發生時 ( 注意 $V_U \gt V_{OL}$)，電容反過來開始放電，如圖三所示。當電容電壓因放電下降至小於 $V_L$ 瞬間，閘的輸出會由低態 $V_{OL}$ 轉態成高態 $V_{OH}$。接著，電容又開始被充電，如此周而復始，因而 密特觸發反相閘 持續輸出矩形波。此無穩態多諧振盪器的波形圖，如圖四所示。 圖三   電容放電 圖四   $v_c$  與  $v_o$ 波形圖 輸出頻率推導 電容充電時間 $t_1$ 如...

Analysis of  OP-amp Integrator Circuit  如圖一所示，為一運算放大器與 $RC$ 組成的積分電路，一般稱之為 米勒積分器 (Miller Integrator) 或 反相積分器 (Inverting Integrator)。此積分電路可輸出正比於輸入電壓對時間的積分值電壓。其用途常見於訊號處理、控制系統以及感測器訊號轉換等。 圖一  OP AMP 積分電路

MOSF ET Common Drain Amplifier  (Source Follower): Small Signal Analysis    如圖一所示，為一 MOSFET 共汲極放大電路  (Common Drain Amplifier) ，此電路又被稱為 源極隨耦器 (Source Follower)。其特點是輸入阻抗大，輸出阻抗小，且電壓增益小於 1 但接近於 1 ，故在多級放大器中，常被作為 電壓緩衝級 用來驅動較小的負載輸出。 圖一     MOSFET 共汲極放大電路 MOSFET 共汲極放大電路的小訊號等效電路如圖二所示，其交流特性說明如下： 圖二      MOSFET 共汲極放大電路的 小訊號等效電路 電壓增益 (Voltage Gain) $A_v$ 由圖二可知： $$v_i=v_{gs}+v_o\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ 且 $$v_o=g_{m}v_{gs}\left ( R_s // r_o \right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$ 由式子 (2) 可知：  $$v_{gs}=\frac{v_o}{g_m(R_s // r_o)}$$ 代入式子 (1)，可得 $$v_i=v_o\left [1+\frac{1}{g_m(R_S//r_o)}\right ]$$ 所以，電壓增益為 $$A_v=\frac{v_o}{v_i}=\frac{1}{1+\frac{1}{g_m(R_s // r_o)}}$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{1}{1+\frac{1}{g_m(\frac{R_s r_o}{R_s+r_o})}}$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{1}{1+\frac{R_s+r_o}{g_m R_s r_o}}$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{g_mR_sr_o}{g_mR_sr_o+R_s+r_o}$$ 若 $r_o \gt\gt R_s$，將上式分子分母同...

Derivation of I = neAv 一外加電場的導體，假設在 $t$ 時間內有 $m$ 個電子受電場的作用漂移而通過導體中的一截面，電子速度分別是 $v_1$、$v_2$、$...$、以及 $v_m$，且這些電子在 $t = 0$ 時距離該截面的距離分別是 $l_1$、$l_2$、$...$、以及 $l_m$，則平均距離 $$l=\frac{\sum_{i=1}^m l_i}{m}=\frac{\sum_{i=1}^{m}(v_it)}{m}$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=t\frac{\sum_{i=1}^{m}v_i}{m}$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=t\frac{mv}{m}$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=vt \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ 其中的 $v$ 是這些 $m$ 個電子的 平均漂移速度 (drift velocity)。

DC Analysis of a Voltage Divider BJT Bias Circuit and Its Conditions of Approximate Method  如圖一所示為一 分壓偏壓 BJT 放大電路  (Voltage Divider BJT Bias Circuit)，下面我們將分別介紹如何以精確分析法以及近似解方法來進行該類型放大電路的直流分析，同時也會說明使用近似解的先決條件為何。 圖一     分壓偏壓 BJT 放大電路 精確分析法 (Exact Method) 要作直流分析，如圖二所示得先將圖一的 分壓偏壓 BJT 放大電路中 電晶體基極左側部分，進行 戴維寧等效電路 ( Thévenin Equivalent Network) 的轉換，以方便分析。 圖二   分壓偏壓 BJT 放大電路電晶體基級左側部分，進行戴維寧等效電路轉換 根據 戴維寧定理   (Thévenin Theorem)： $$V_{TH} = V_{CC}\times \frac{R_2}{R_1+R_2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ $$R_{TH} = R_1\; ||\; R_2 = \frac{R_1 R_2}{R_1+R_2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$ 應用 $KVL$ 於輸入迴路，可知 $$V_{TH} = I_B R_{TH} + V_{BE} + I_E R_E$$     又假設此放大電路的電晶體在 主動區 (Active Region) 操作，且共射極電流增益為 $\beta$，則 $I_E = (1+\beta)I_B$ 代入上式，可得 $$I_B = \frac{V_{TH} - V_{BE}}{R_{TH} + (1+\beta)R_E}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)$$ 接著應用 $KVL$ 於輸出迴路，可知 $$V_{CC} = I_C R_C + V_{CE} + I_E R_E$$ 再將 $I_C = \beta I_B$ 及 $I_E = (1+...

Mathematical Analysis of  Square Wave Generator Using OP-Amp 如圖一所示，為一 OP-Amp 方波 (square wave) 產生電路。由於正回授的運算放大器，其輸出不是正飽和電壓 $+V_{sat}$，就是負飽和電壓 $-V_{sat}$。因此，在作 OPA 方波產生電路的數學分析前，必須先就一開始其輸出為 $+V_{sat}$ 或 $-V_{sat}$ 這兩種輸出情況來分別討論。 圖一     OPA 方波產生電路

Mathematical Analysis of Triangular Waveform Generator Circuit Using Op-amp  三角波產生器是由 史密特觸發電路 (Schmitt trigger) 與 米勒積分器 (Miller Integrator) 所組成。前者負責產生方波後再輸入後者以產生三角波，而史密特觸發電路的輸入則是來自積分器的輸出。以下將對三角波產生器進行電路與數學分析，以了解其動作的原理。 如圖一所示的三角波產生器，OPA1 與 $R_1$、 $R_2$ 的連結組成了 非反相史密特觸發電路 ，輸出 $v_{o1}$，而其輸入來自於由 OPA2 與 $R$、$C$ 的連結所組成的 積分器 的輸出 $v_o$。 圖一     三角波產生器  

Reasons Behind Virtual Short and Virtual Open Circuits In Ideal Operational Amplifiers 採負回授的運算放大器 (Operational Amplifier，簡稱 OPA 或 OP-Amp) 可作為電壓訊號放大之用。而欲被放大的電壓輸入信號若輸入於 OPA 的負輸入端 ($v_-$) ，所形成的電壓放大器被稱為 反相 OPA 電壓放大器 (Inverting Operational Amplifier)；反之，若電壓輸入信號輸入於 OPA 的正輸入端  ($v_+$)，則被稱為 非反相 OPA 電壓放大器 (Non-inverting Operational Amplifier)。無論是反相 OPA 電壓放大器或是非反相 OPA 電壓放大器，其 OPA 的正負輸入端，在負回授方式連接的情況下皆存在有 虛短路 (Virtual Short) 與 虛斷路 (Virtual Open) 現象。 所謂虛短路指的是理想的 OPA 放大器在負回授的情況下，OPA 的正輸入端與負輸入端的電位差極小，小至接近於零的現象。因此，在簡化分析時常可將二者的電位視為相等，猶如兩端短路ㄧ般；而所謂虛斷路指的是 OPA 放大器在負回授的情況下，流入 OPA 本身輸入端的電流極小，小至接近於零，以致於可將 OPA 內部連接輸入電阻的兩輸入端視為斷路的現象。 以下將分別針對反相 OPA 電壓放大器以及非反相 OPA 電壓放大器，證明虛短路與虛斷路現象之存在。且上述的二現象若存在，則在推導反相與非反相 OPA 電壓放大器的增益公式時，過程將會容易許多。 反相 OPA 電壓放大器 虛短路與虛斷路現象 證明 如圖ㄧ所示，為一理想的反相 OPA 電壓放大器。運算放大器的等效電路則如圖二所示，其中的 $A_{vo}$ 為開迴路增益，且理想的 OPA 其 $A_{vo} \to \infty$ ( 實際的典型值約在 10 萬至 100 萬之間，相當的大 )。 圖ㄧ      反相 OPA 電壓放大器 圖二      運算放大器的等效電路 圖三     反相 OPA 電壓放大器等效電路 圖三所示為反相 OPA 電壓...

N 通道增強型 MOSFET 在飽和區操作時，若忽略通道長度調變效應的理想情況下，其 I–V 特性方程式為 $$I_D = K (V_{GS} - V_t)^2$$ 實際上若考慮通道長度調變效應，則上式應修正為 $$I_D \approx K (V_{GS} - V_t)^2(1+\frac{V_{DS}}{V_A})$$ 以下將針對這兩種情況，分別推導上述的兩公式。 理想的 $I-V$ 特性方程式

如圖一所示，為ㄧ N 通道增強型 MOSFET 在已知 $V_{GS}$ 值時的理想 $I_D - V_{DS}$  特性曲線圖。當 $V_{GS} < V_{GS}-V_t$  時，N 通道增強型 MOSFET 操作在歐姆區 (Ohmic Region) 或稱三極區 (Triode Region) 或是非飽和區 (Nonsaturation Region)，其  $I_D - V_{DS}$ 特性曲線方程式為一二次函數：即ㄧ開口向下，頂點座標為 $(V_{GS}-V_t, I_{D1})$，且經過原點的拋物線的左半部。其中的 $I_{D1} = K(V_{GS}-V_t)^2$ ，為 N 通道增強型 MOSFET 的操作由歐姆區進入飽和區臨界點的 $I_D$ 表示式，而 $K$ 為一常數且其值可由下式決定： $$K=\frac{1}{2}\mu C_{o}(\frac{W}{L})$$ 上式中的 $\mu$  為感應通道中主要載子 ( 在此是電子) 的遷移率 (mobility)，$C_o$ 是閘極與通道間每單位面積的電容量，$W$ 是 通道的寬度，而 $L$ 則是 通道的長度。 圖一     N 通道增強型 MOSFET 在  $V_{GS}$ 為已知時的 $I_D - V_{DS}$  理想特性曲線圖 已知二次函數可寫成 $$f(x) = ax^2 + bx + c$$ $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=a(x-h)^2+k\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(a \neq 0)$$ 其中的 $(h, k)$ 為此二次函數的頂點座標。 因此，N 通道增強型 MOSFET 在歐姆區操作的 $I_D - V_{DS}$ 特性方程式可寫成 $$I_D = a [\;V_{DS} - (V_{GS} - V_t)\;]^2 + I_{D1}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\...