電流 I = neAv 公式推導

Derivation of I = neAv

一外加電場的導體，假設在 $t$ 時間內有 $m$ 個電子受電場的作用漂移而通過導體中的一截面，電子速度分別是 $v_1$、$v_2$、$...$、以及 $v_m$，且這些電子在 $t = 0$ 時距離該截面的距離分別是 $l_1$、$l_2$、$...$、以及 $l_m$，則平均距離

$$l=\frac{\sum_{i=1}^m l_i}{m}=\frac{\sum_{i=1}^{m}(v_it)}{m}$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=t\frac{\sum_{i=1}^{m}v_i}{m}$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=t\frac{mv}{m}$$

$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=vt \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$

其中的 $v$ 是這些 $m$ 個電子的平均漂移速度 (drift velocity)。

又根據電流定義

$$I = \frac{me}{t}$$

其中的 $e$ 是電子的電量，則由式子 $(1)$ 可知

$$t=\frac{l}{v}$$

代入上式可得

$$I=\frac{me}{\frac{l}{v}}$$

$$\;\;=\frac{mev}{l}$$

將上式分子與分母同乘導體截面積 $A$，可得

$$I=\frac{mevA}{lA}$$

又假設導體的電子濃度 (concentration) 為 $n$ $($ 個電子 $/$ $m^3$ $)$，則 

$$n=\frac{m}{lA}$$

代入上式可得

$$I=neAv$$