眞趣盎然集

Derivation of the Sum Difference Identities in Trigonometry Using Euler's Formula 正弦、餘弦以及正切的和差角公式如下： $\sin(\alpha \pm \beta) = \sin  \alpha\cos  \beta \pm \cos \alpha \sin \beta $ $\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha\cos \beta \mp \sin \alpha\ sin\; \beta$ $\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha\; \pm \tan\; \beta}{1 \;\mp \tan  \alpha \tan \beta}$ 推導： 由 尤拉公式 $$e^{ix}= \cos x+i \sin x$$ 可知 $$e^{i(\alpha \pm \beta) }= \cos (\alpha \pm \beta) + i \sin (\alpha \pm \beta)$$ 亦即 $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \cos (\alpha \pm \beta) = Re\left \{e^{i(\alpha \pm \beta) }\right \}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ 且 $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \sin (\alpha \pm \beta) = Im \left  \{e^{i(\alpha \pm \beta) }\right \}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$ 其中 $Re\{Z\}$ 表示複數 $Z$ 的 實部 (Real Part)，$Im \{Z\}$ 則表示複數 $Z$ 的 虛部 (Imaginary Part)。 又 $$e^{i(\alpha \pm \beta) }= e^{i\alpha}\; e^{\pm i\beta}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\...